Równania różniczkowo-całkowe, procesy Markowa i stochastyczne równania różniczkowe wstecz 7404-PMPF

1. Reprezentacja probabilistyczna rozwiązań problemu Cauchy'ego, Dirichleta i Cauchy--Dirichleta dla równań liniowych z laplasjanem. Informacja o interpretacji rozwiązań problemu Neumanna. Wzór Kaca--Feynmana.

2. Stochastyczne równania różniczkowego wstecz. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań dla danych całkowalnych z kwadratem.

3. Równania stochastyczne wstecz typu markowskiego. Interpretacja probabilistyczna rozwiązań lepkościowych równań półliniowych w formie niedywergencyjnej. Rozwiązania łagodne. Nieliniowy wzór Kaca-Feynmana.

4. Reprezentacja probabilistyczna słabych rozwiązań równań półliniowych w formie dywergencyjnej i pewnych typów równań z operatorem różniczkowo--całkowym typu Levy'ego.

Całkowity nakład pracy studenta

30 godzin - wykład 30 godzin - przygotowanie do zajęć i studiowanie literatury 30 godzin - przygotowanie do egzaminu Razem: 90 godz.

Efekty uczenia się - wiedza

Doktorant potrafi podać reprezentację typu Kaca--Feynmana dla podstawowych problemów brzegowo-początkowych równań liniowych cząstkowych drugiego rzędu. Zna podstawowe twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań stochastycznych równań różniczkowych wstecz i potrafi podać reprezentację stochastyczną, w terminach takich równań, rozwiązań problemu Cauchy'ego dla półliniowych równań z operatorami lokalnymi. Student jest świadomy nowych matematycznych problemów pojawiających się w badaniu metodami probabilistycznymi równań z operatorami nielokalnymi. (P8S_WG)

Efekty uczenia się - umiejętności

Doktorant potrafi: 1) wskazać problemy z równań różniczkowych cząstkowych, które mogą być efektywnie badane metodami probabilistycznymi; 2) wskazać, dla pewnych specyficznych problemów, zalety i wady metod probabilistycznych. (P8S_UW)

Metody dydaktyczne

wykład

Metody dydaktyczne podające

- wykład informacyjny (konwencjonalny)

Wymagania wstępne

Podstawy analizy stochastycznej (martyngały z czasem ciągłym, całka stochastyczna, wzór Ito, stochastyczne równania różniczkowe).

Koordynatorzy przedmiotu

Andrzej Rozkosz

Kryteria oceniania

Egzamin ustny

Literatura

I. Karatzas and S.E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer, New York, 1988.

E. Pardoux, Backward Stochastic Differential Equations and Viscosity Solutions of Systems of Semilinear Parabolic and Elliptic PDEs of Second Order. In: Stochastic Analysis and Related Topics VI, The Geilo Workshop 1996, pp. 79--127, L. Decreusefond, J. Gjerde, B. Oksendal, A.S. Ustunel (Eds.), Birkhuser, Boston 1998.

Więcej informacji

Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb:

Strona przedmiotu 7404-PMPF w USOSweb