Metody wariacyjne w nieliniowych równaniach różniczkowych cząstkowych
7404-MAT-WAR
1. Wstęp do przestrzeni Sobolewa. Przestrzeń H^1 i jej własności.
2. Słabe rozwiązanie zagadnienia Dirichleta. Funkcjonał energii.
3. Bezpośrednia metoda rachunku wariacyjnego.
4. Ciągi Palais-Smale’a i ich ograniczność (warunek Ambrosetti-Rabinowitza). Zasada Ekelanda.
5. Twierdzenie o górskiej przełęczy z zastosowaniami.
6. Metoda rozmaitości Nehariego w sytuacji gładkiej.
7. Homeomorfizm rozmaitości Nehariego ze sferą w przestrzeni Hilberta. Zastosowanie do równań z brakiem regularności rozmaitości Nehariego.
Całkowity nakład pracy studenta
1. Godziny realizowane z udziałem nauczycieli
a) wykład – 30 godzin.
2. Czas poświęcony na pracę indywidualną studenta potrzebny do pomyślnego zaliczenia przedmiotu:
a) studiowanie literatury – 30 godzin.
3. Czas wymagany do przygotowania się do uczestnictwa w procesie oceniania (np. w egzaminach):
a) przygotowanie się do egzaminu – 30 godzin.
RAZEM: 90 godz.
3 pkt. ECTS
Efekty uczenia się - wiedza
1. Zna pojęcie przestrzeni Sobolewa H^1, słabej pochodnej i podstawowe ich własności, pojęcie wariacyjnego funkcjonału energii oraz słabych rozwiązań. (P8S_WG)
2. Zna bezpośrednią metodę rachunku wariacyjnego. (P8S_WG)
3. Zna pojęcie ciągu Palais-Smale’a, zna i rozumie warunki gwarantujące jego ograniczoność (w szczególności – warunek Ambrosetti-Rabinowitza). (P8S_WG)
4. Zna twierdzenie o górskiej przełęczy. (P8S_WG)
5. Zna pojęcie rozmaitości Nehariego i jej podstawowe własności. (P8S_WG, P8S_WG)
Efekty uczenia się - umiejętności
1. Potrafi zastosować bezpośrednią metodę rachunku wariacyjnego. (P8S_UW, P8S_UO)
2. Stosuje twierdzenie o przełęczy górskiej do wykazania istnienia nietrywialnego rozwiązania. (P8S_UW, P8S_UO)
3. Potrafi wykazać twierdzenie o górskiej przełęczy oraz stosować lemat deformacyjny. (P8S_UW, P8S_UO)
4. Potrafi zastosować technikę rozmaitości Nehariego do uzyskania istnienia rozwiązań o najmniejszej energii (rozwiązań w stanie podstawowym). (P8S_UW, P8S_UO)
Efekty uczenia się - kompetencje społeczne
1. Przekazuje innym swoją wiedzę i przemyślenia z zachowaniem uczciwości intelektualnej. (P8S_KR, P8S_KK)
2. Ma świadomość ograniczoności swojej wiedzy, zdolność krytycznego spojrzenia na rozważane zagadnienie i umiejętność szukania rozwiązań w oparciu o zasady logiki i różne źródła informacji. (P8S_KK)
Metody dydaktyczne eksponujące
- pokaz
Metody dydaktyczne podające
- wykład informacyjny (konwencjonalny)
- wykład problemowy
Metody dydaktyczne poszukujące
- klasyczna metoda problemowa
Rodzaj przedmiotu
przedmiot fakultatywny
Wymagania wstępne
Analiza funkcjonalna
Koordynatorzy przedmiotu
Kryteria oceniania
Literatura
M. Willem: Minimax theorems, Birkhäuser 1997
M. Struwe: Variational methods, Springer-Verlag 2008
M. Badiale, E. Serra: Semilinear Elliptic Equations for Beginners, Springer-Verlag 2011
A. Szulkin, T. Weth: Ground state solutions for some indefinite variational problems, Journal of Functional Analysis, Volume 257, Issue 12 (2009)
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i
terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: