Równania całkowo-różniczkowe cząstkowe z operatorami typu Lévy'ego II 7404-MAT-RCRII
1. Procesy Markowa - podstawowe pojęcia
2. Procesy Fellera
3. Procesy Fellera jako podklasa procesów Markowa
4. Miara Lévy'ego, trójka Lévy'ego
5. Funkcje dodatnio określone - twierdzenie Bochnera
6. Podstawy teorii dystrybucji: dystrybucja temperowana, transformata Fouriera,
nośnik dystrybucji, rząd dystrybucji, odwrotna transformata Fouriera, ułamkowe przestrzenie Sobolewa
7. Twierdzenie Courrège'a-v. Waldenfelsa dla generatorów Fellera
8. Symbol Fouriera procesu Fellera
9. Struktura semimartyngałowa procesów Fellera
10. Konstrukcja procesów Fellera
11. Problem martyngałowy
12. Stochastyczne równania różniczkowe (symbol rozwiązania)
13. Symetryczne procesy Fellera (formy Dirichleta)
14. Ułamkowy Laplasjan ze zmiennym wykładnikiem
15. Twierdzenie o momentach dla procesów Fellera
16. Twierdzenie Aleksandrova-Bakelmana-Pucciego
17. Wzór Dynkina, reprezentacja stochastyczna rozwiązań równań
całkowo-różniczkowych z generatorem Fellera
18. Słaba zbieżność procesów Fellera w przestrzeniach Skorochoda
19. Transformacje procesów Fellera: losowa zmiana czasu, subordynacja w sensie Bochnera, zaburzenie, wzór Feynmana-Kaca
20. Zachowanie asymptotyczne trajektorii procesów Fellera
21. Nierówności typu Nasha dla generatorów Fellera
22. Równania Poissona dla generatorów Fellera: reprezentacja probabilistyczna,
rozwiązania słabe i lepkościowe
23. Funkcja Greena, jądro Poissona, wzór Ikedy-Watanabe
24. Funkcje harmoniczne: podejście analityczne i probabilistyczne
Całkowity nakład pracy studenta
Efekty uczenia się - wiedza
Efekty uczenia się - umiejętności
Wymagania wstępne
Koordynatorzy przedmiotu
Efekty kształcenia
WIEDZA (zna i rozumie):
WG_1 - w stopniu umożliwiającym rewizję istniejących paradygmatów - światowy dorobek, obejmujący podstawy teoretyczne oraz zagadnienia ogólne i wybrane zagadnienia szczegółowe - właściwe dla danej dyscypliny naukowej
WG_2 - główne tendencje rozwojowe dyscyplin naukowych, w których odbywa się kształcenie
WG_3 - metodologię badań naukowych
UMIEJĘTNOŚCI (potrafi):
dokonywać krytycznej analizy i oceny wyników badań naukowych, działalności eksperckiej i innych prac o charakterze twórczym oraz ich wkładu w rozwój wiedzy
KOMPETENCJE SPOŁECZNE (jest gotów do):
KK_1 - krytycznej oceny dorobku w ramach danej dyscypliny naukowej
Kryteria oceniania
Egzamin ustny
Literatura
Björn Böttcher , René Schilling , Jian Wang: Lévy Matters III. Lévy-Type Processes: Construction, Approximation and Sample Path Properties.
Lecture Notes in Mathematics (2099)
Applebaum, D.: Lévy Processes and Stochastic Calculus, 2nd edn. Cambridge University Press, Cambridge (2009)
Billingsley, P.: Convergence of Probability Measures. Wiley, New York (1968)
Blumenthal, R.M., Getoor, R.K.: Markov Processes and Potential Theory. Academic,
New York (1968)
Chung, K.L.: Lectures from Markov Processes to Brownian Motion. Springer, Berlin (1982)
Fukushima, M., Oshima, Y., Takeda, M.: Dirichlet Forms and Symmetric Markov Processes. De Gruyter, Berlin (2012)
Jacob, N.: Pseudo Differential Operators and Markov Processes I: Fourier Analysis and Semigroups. Imperial College Press/World Scientific, London (2001)
Jacod, J., Shiryaev, A.N.: Limit Theorems for Stochastic Processes, 2nd edn. Springer, Berlin (2003)
Kolokoltsov, V.N.: Markov Processes, Semigroups and Generators. De Gruyter, Berlin (2011)
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: