Równania całkowo-różniczkowe cząstkowe z operatorami typu Lévy'ego I 7404-MAT-RCRI

1. Rozszerzenie podstawowych pojęć z rachunku prawdopodobieństwa i teorii miary: warunkowa wartość oczekiwana, twierdzenie Caratheodory'ego, warunkowa niezależność algebr, twierdzenie o całkowaniu warunkowym, twierdzenie Kołmogorowa o istnieniu procesu, metoda transferu rozkładów,
lemat Dynkina-Sierpińskiego, prawo 0-1 Hewitta-Savage'a, regularne rozkłady warunkowe.
2. Procesy Markowa - podstawowe pojęcia
3. Procesy Lévy'ego
4. Procesy Lévy'ego jako podklasa procesów Markowa
5. Losowa miara Poissona
6. Twierdzenie Lévy'ego-Khintchine'a
7. Wykładnik charakterystyczny Lévy'ego
8. Formuła Lévy'ego-Ito
9. Własności procesów Lévy'ego
10. Subordynatory
11. Ułamkowy Laplasjan
12. Twierdzenie o momentach dla procesów Lévy'ego
13. Twierdzenia o propagacji jednowymiarowych rozkładów procesu Lévy'ego
14. Rozkład Holtsmarka
15. Martyngały Dynkina, wzór Dynkina
16. Przejściowe i powracające procesy Lévy'ego - kryteria oparte o wykładnik charakterystyczny Lévy'ego
17. Słaba zbieżność procesów Lévy'ego w przestrzeniach Skorochoda
18. Półgrupy i generatory Lévy'ego, rdzeń operatora, reprezentacja probabilistyczna rozwiązań równań całkowo-różniczkowych.

Całkowity nakład pracy studenta

60 godzin - wykład 60 godzin - praca własna: przygotowanie do zajęć i studiowanie literatury 60 godzin - praca własna: przygotowanie do egzaminu

Efekty uczenia się - wiedza

Po zakończenie kursu doktorant zna pojęcie, konstrukcję i podstawowe własności procesu Lévy'ego oraz reprezentację probabilistyczną podstawowych równań całkowo-różniczkowych.

Efekty uczenia się - umiejętności

Po zakończeniu kursu doktorant potrafi klasyfikować procesy Lévy'ego, tworzyć i badać podstawowe modele w oparciu o procesy Lévy'ego oraz związać podstawowe równania fizyki, biologii i chemii z odpowiednimi równaniami stochastycznymi.

Metody dydaktyczne

- wykład informacyjny (konwencjonalny)

Metody dydaktyczne podające

- wykład informacyjny (konwencjonalny)

Wymagania wstępne

Znajomość podstawowych pojęć i twierdzeń z teorii prawdopodobieństwa i analizy matematycznej.

Koordynatorzy przedmiotu

Tomasz Klimsiak

Efekty kształcenia

WIEDZA (zna i rozumie):
WG_1 - w stopniu umożliwiającym rewizję istniejących paradygmatów - światowy dorobek, obejmujący podstawy teoretyczne oraz zagadnienia ogólne i wybrane zagadnienia szczegółowe - właściwe dla danej dyscypliny naukowej
WG_2 - główne tendencje rozwojowe dyscyplin naukowych, w których odbywa się kształcenie
WG_3 - metodologię badań naukowych

UMIEJĘTNOŚCI (potrafi):
dokonywać krytycznej analizy i oceny wyników badań naukowych, działalności eksperckiej i innych prac o charakterze twórczym oraz ich wkładu w rozwój wiedzy

KOMPETENCJE SPOŁECZNE (jest gotów do):
KK_1 - krytycznej oceny dorobku w ramach danej dyscypliny naukowej

Kryteria oceniania

Egzamin ustny

Literatura

Olav Kallenberg: Foundations of Modern Probability,
3rd edition: Springer Nature Switzerland AG 2021

Jean Bertoin: Lévy Processes, Cambridge University Press 1998

Ken-iti Sato: Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions,
Cambridge Studies in Advanced Mathematics 1999

Więcej informacji

Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb:

Strona przedmiotu 7404-MAT-RCRI w USOSweb