Matematyka 1600-BM11MATE-1

Wykład służy objaśnieniu najważniejszych pojęć matematycznych oraz własności obiektów matematycznych zawierających się w programem kursu. W tym, celu omawiane są liczne przykłady. Zwraca też uwagę na ich zastosowanie w naukach ścisłych i przyrodniczych. Obejmuje następujące zagadnienia:
1. Elementy logiki matematycznej
Wartości logiczne (niekontrowersyjnych) zdań orzekających. Zdania złożone i operatory złożeń (negacja, koniunkcja, alternatywa, implikacja, równoważność). Obliczanie wartości logicznej zdań złożonych. Tautologie i prawa rachunku zdań. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory.
2. Elementy teorii zbiorów
Działania na zbiorach: suma, iloczyn i różnica zbiorów. Pojęcia podzbioru, uniwersum (przestrzeń zbiorów) i dopełnienia zbioru. Zbiory liczbowe: liczby naturalne, całkowite, wymierne i rzeczywiste. Iloczyn kartezjański
3. Funkcje
Pojęcie funkcji. Funkcje w skończonych iloczynach kartezjańskich. Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej: monotoniczność funkcji, parzystość funkcji, okresowość funkcji. Podstawowe funkcje elementarne: funkcja liniowa, funkcja kwadratowa, funkcje potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i cyklometryczne. Złożenie funkcji. Funkcje różnowartościowe (injekcje), funkcje "na" (surjekcje) oraz bijekcje. Funkcja odwrotna. Równoliczność zbiorów skończonych i nieskończonych.
4. Ciągi liczbowe (nieskończone)
Najważniejsze własności ciągów liczbowych: ograniczoność, monotoniczność. Ciąg arytmetyczny. Ciąg geometryczny. Granica ciągu. Zbieżność i rozbieżność ciągu. Wzory rekurencyjne liniowe i nieliniowe .
5. Szeregi liczbowe
Kryterium zbieżności szeregu geometrycznego i wzór na jego sumę.
6. Systemy pozycyjne: dziesiętny i binarny
7. Rachunek różniczkowy
Granica funkcji. Ciągłość funkcji w punkcie i przedziale. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja geometryczna. Obliczanie pochodnej. Przykłady zastosowania pochodnej. Pochodne wyższych rzędów. Ekstrema funkcji. Wkłęsłość i wypukłość krzywej. Punkt przegięcia. Badanie przebiegu zmienności funkcji. Rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy. Szereg Maclaurina i szereg Taylora. Pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych. Definicja pochodnej cząstkowej i proste przykłady jej obliczania.
8. Rachunek całkowy
Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory na całki nieoznaczone. Całkowanie przez części i przez podstawienie. Całka oznaczona. Interpretacja geometryczna całki oznaczonej. Przykłady obliczania całki oznaczonej. Twierdzenia podstawowe rachunku całkowego. Całka niewłaściwa i przykłady jej obliczania.
9. Równania różniczkowe zwyczajne i przykłady zagadnień prowadzących do równań różniczkowych.
10. Liczby zespolone:
Liczby zespolone jako pary liczb rzeczywistych. Dodawanie, mnożenie i dzielenie liczb zespolonych. Postać trygonometryczna liczb zespolonych
11. Wektory (opcjonalnie - punkt realizowany jedynie w przypadku dostatecznej rezerwy czasowej w realizacji programu przedmiotu)
Działania na wektorach: dodawanie wektorów i mnożenie przez skalar. Liniowa niezależność, baza, współrzędne wektora w bazie

Ćwiczenia mają na celu wyposażenie studentów w umiejętność operowania pojęciami i obiektami matematycznymi omawianymi na wykładzie. Obejmują następujące zagadnienia
1. Elementy logiki matematycznej
Obliczanie wartości logicznych zdań złożonych. Dowodzenie tautologii i prostych praw logiki.
2. Elementy teorii zbiorów
Wykonywanie prostych działań na zbiorach.
3. Funkcje
Badanie funkcji liniowych (szukanie punktów odcięcia i miejsc zerowych) i sporządzanie ich wykresów. Badanie funkcji kwadratowych (określanie zwrotu i współrzędnych wierzchołka paraboli, badanie istnienia i znajdowanie miejsc zerowych) i sporządzanie ich wykresów. Wykreślanie zadanych funkcji potęgowych, wykładniczych i logarytmicznych. Wykreślanie funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych (kołowych). Badanie parzystości funkcji. Wykreślanie funkcji, surjekcji, injekcji i bijekcji w skończonych iloczynach kartezjańskich. Wykreślanie par funkcji wzajemnie odwrotnych. Składanie funkcji.
4. Ciągi liczbowe
Określanie własności: ograniczoności, monotoniczności, rozbieżności, zbieżności zadanych ciągów liczbowych.
5. Szeregi liczbowe
Badanie zbieżności wybranych szeregów liczbowych i sumowanie szeregów geometrycznych.
6. Rachunek różniczkowy
Obliczanie granic i granic niewłaściwych funkcji. Różniczkowanie funkcji elementarnych. Badanie przebiegu funkcji : określanie dziedziny i granic na brzegach dziedziny, wyznaczanie równań asymptot, obliczanie pierwszej i drugiej pochodnej, wyznaczanie punktów charakterystycznych (ekstremów i punktów przegięcia), wykreślanie funkcji. Rozwijanie prostych funkcji w szereg Taylora i szereg Maclaurina. Obliczanie pochodnych cząstkowych prostych funkcji dwóch zmiennych.
7. Rachunek całkowy
Obliczanie całek nieoznaczonych metodą przez podstawienie i metodą przez części. Obliczanie całek oznaczonych. Obliczanie prostych całek niewłaściwych.
8. Liczby zespolone
Dodawanie i mnożenie zadanych liczby zespolonych. Przekształcanie przedstawień liczb zespolonych. Pierwiastkowanie zadanych liczb zespolonych.
9. Wektory (opcjonalnie punkt realizowany jedynie w przypadku dostatecznej rezerwy czasowej w realizacji programu przedmiotu)
Graficzne i algebraiczne dodawanie i mnożenie przez skalar zadanych wektorów. Badanie liniowej niezależności wektorów i ich rozwijanie w zadanej bazie. Obliczanie prostych iloczynów skalarnych i wektorowych.