Harmonic analysys 1000-OG-EN-HA

1 Basics of Lebesgue Spaces:
The Distribution function and weak L^p spaces.
The Hardy–Littlewood maximal operator.
The Lebesgue differentiation theorem.
Convolutions and their properties.
Schwartz functions. Approximate identities.

2 Basics of Fourier Transforms:
the Fourier Transform on L^1, Fourier inversion.
The Fourier Transform on L^2, the Paley-Wiener theorem, uncertainty principles.
Real and complex interpolation: Riesz–Thorin interpolation, Stein's interpolation,
Marcinkiewicz interpolation. Applications of interpolation.
The Hausdorff–Young and related inequalities.
Approximate identities, norm and almost everywhere convergence.
Tempered distributions. L^p Fourier multipliers.

3. Singular Integrals:
the Hilbert transform, the Poisson Kernel, Riesz Transforms,
Calderón–Zygmund singular integrals,
L^2 boundedness of Calderón–Zygmund operators and the Calderón–Zygmund decomposition.
Extrapolation of L^2 boundedness.

4 Littlewood–Paley theory: Basics and elementary applications.
The Hormander and the Marcinkiewicz multiplier theorems.
The vector-valued Calderón–Zygmund theorem.
Applications of vector-valued inequalities.

5. Hardy spaces H^1 and BMO.

Całkowity nakład pracy studenta

30 godzin - wykład 30 godzin - ćwiczenia 50 godzin - praca własna - bieżące przygotowanie do zajęć, studiowanie literatury 40 godzin- praca własna-przygotowanie do zaliczenia ćwieczeń i egzaminu Razem: 150 godzin

Efekty uczenia się - wiedza

W1 Student zna podstawowe wyniki klasycznej analizy harmonicznej, rozumie ich sens i potrafi uzasadnić wiele z nich. W2 Student jest świadomy zakresu przyswojonej teorii oraz problemów wynikających z użycia technik analizy harmonicznej.

Efekty uczenia się - umiejętności

U1 Student potrafi skorzystać z technik analizy harmonicznej do rozwiązania elementarnych problemów natury analitycznej. U2 Może też wskazać zalety i wady metod analizy harmonicznej w badaniu zagadnień analitycznych.

Efekty uczenia się - kompetencje społeczne

K1 Przekazuje innym swoją wiedzę i przemyślenia w zrozumiały sposób; K2 Właściwie rozumie sformułowania pytań i problemów, poprawnie posługuje się terminologią fachową K3 Rozumie potrzebę ciągłego doskonalenia się

Metody dydaktyczne

Wykład, dyskusja podczas wykładów, ćwiczenia

Metody dydaktyczne podające

- opis
- wykład informacyjny (konwencjonalny)

Metody dydaktyczne poszukujące

- seminaryjna
- ćwiczeniowa
- referatu

Rodzaj przedmiotu

przedmiot fakultatywny

Wymagania wstępne

Podstawy analizy matematycznej. Zaliczenie wykładów Analiza Matematyczna I-III

Koordynatorzy przedmiotu

Yuriy Tomilov

Kryteria oceniania

Zaliczenie ćwiczeń odbywa się na podstawie zaliczenia sprawdzianów pisemnych.
Weryfikacja efektów: U1, U2, K1, K2. K3
Egzamin ustny z tematyki zajęć - wykazanie się znajomością poznanego materiału.
Weryfikacja efektów: W1, W2

Praktyki zawodowe

nie przewiduję się

Literatura

Literatura podstawowa

L. Grafakos, Classical Fourier analysis, Third ed., Graduate Texts in Mathematics, 249, Springer, NY, 2014.
L. Grafakos, Modern Fourier analysis, Third ed., Graduate Texts in Mathematics, 250, Springer, NY, 2014.
E. Stein, G. Weiss, Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces, Princeton Mathematical Ser., No. 32. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1971.

Literatura uzupełniająca

E. Stein and R. Shakarchi, Fourier analysis:
an Introduction, Princeton Lectures in Analysis, 1. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2003.
E. Stein and R. Shakarchi, Real analysis. Measure theory, integration, and Hilbert spaces.
Princeton Lectures in Analysis, 3. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2005.
E. Stein and R. Shakarchi, Functional analysis. Introduction to further topics in analysis, Princeton Lectures in Analysis, 4. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2011.
A. Torchinsky, Real-variable methods in harmonic analysis, Pure and Applied Math., 123. Academic Press, FL, 1986.

Więcej informacji

Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb:

Strona przedmiotu 1000-OG-EN-HA w USOSweb