Równania różniczkowe w modelach matematycznych 1000-MS1RowRozMod

1. Elementy ilościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych z zastosowaniem w modelowaniu:

1.1. Pojęcia wstępne i przykłady (równanie różniczkowe zwyczajne i jego rozwiązanie, portrety fazowe i całkowe równań, zagadnienie początkowe, przykłady równań różniczkowych zwyczajnych pochodzących z biologii lub ekonomii).

1.2. Podstawowe typy równań różniczkowych zwyczajnych i ich rozwiązywanie (równania różniczkowe o rozdzielonych zmiennych, liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu, równania Bernoulliego) . Przykłady podstawowych typów równań różniczkowych zwyczajnych w modelach różnego rodzaju.

1.3 Istnienie i jednoznaczność rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych.

1.4 Układy liniowych równań różniczkowych (układy liniowych równań różniczkowych zwyczajnych ze stałymi współczynnikami, eksponenta macierzy), wyznaczanie eksponenty macierzy i jej zastosowanie do rozwiązywania układów liniowych.

1.5 Równania liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach wraz z zastosowaniem w modelowaniu.

2. Elementy jakościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych z zastosowaniami:
stabilność Lapunowa oraz asymptotyczna stabilność, analiza portretu fazowego, tw. o stabilności dla liniowych autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych.

Efekty uczenia się - wiedza

W1: zna i rozumie pojęcie równania różniczkowego zwyczajnego i jego rozwiązania oraz związek tych pojęć z modelami matematycznymi - K_W01; W2: zna i rozumie pojęcie portretu fazowego i całkowego równania różniczkowego zwyczajnego – K_W02; W3: zna i rozumie pojęcie jednoznaczności istnienia rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego z warunkiem początkowym – K_W02; W4: zna lokalne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych – K_W02; W5: zna twierdzenie o wariacji stałych – K_W02; W6: zna i rozumie klasyfikację portretów fazowych liniowych autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych na płaszczyźnie – K_W02; W7: zna i rozumie pojęcie stabilnego i asymptotycznie stabilnego rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego – K_W02; W8: zna twierdzenie o stabilności dla liniowych autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych – K_W02; W9: zna podstawowe typy równań różniczkowych zwyczajnych (równania różniczkowe o rozdzielonych zmiennych, liniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu, równania Bernoulliego, układy liniowych równań różniczkowych zwyczajnych) – K_W02; W10: zna przykłady modeli matematycznych w biologii lub ekonomii – K_W06;

Efekty uczenia się - umiejętności

U1: potrafi sprawdzić czy dana funkcja jest rozwiązaniem równania różniczkowego zwyczajnego – K_U11; U2: potrafi stosować lokalne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego – K_U06; U3: potrafi stwierdzić brak jednoznaczności rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego z warunkiem początkowym – K_U06; U4: potrafi rozwiązywać podstawowe typy równań różniczkowych zwyczajnych (równania różniczkowe o rozdzielonych zmiennych, liniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu, równania Bernoulliego, układy liniowych równań różniczkowych zwyczajnych) – K_U11 ; U5: potrafi stosować twierdzenie o wariacji stałych – K_U06; U6: potrafi rysować i klasyfikować portrety fazowe liniowych autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych na płaszczyźnie – K_U11; U7: potrafi badać stabilność Lapunowa i asymptotyczną stabilność położeń równowagi liniowych autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych na płaszczyźnie – K_U06;

Efekty uczenia się - kompetencje społeczne

K1: pracuje systematycznie – K_K04; K2: rozwija myślenie analityczne, wyobraźnię przestrzenną i rozumienie dynamicznego charakteru procesów – K_03; K3: komunikuje się w zakresie przedmiotu Równania różniczkowe wykorzystując fachową terminologie i pojęcia – K_K02; K4: widzi potrzebę ciągłego doskonalenia się i podnoszenia kompetencji zawodowych – K_K03; K5: rozumie społeczną rolę zastosowań matematyki – K_K02;

Metody dydaktyczne

- pokaz - wykład informacyjny (konwencjonalny) - wykład problemowy - ćwiczeniowa - laboratoryjna - klasyczna metoda problemowa

Metody dydaktyczne eksponujące

- pokaz

Metody dydaktyczne podające

- wykład konwersatoryjny
- wykład informacyjny (konwencjonalny)
- wykład problemowy

Metody dydaktyczne poszukujące

- klasyczna metoda problemowa
- laboratoryjna
- ćwiczeniowa

Rodzaj przedmiotu

przedmiot obligatoryjny

Wymagania wstępne

Algebra liniowa Analiza matematyczna I Analiza matematyczna II

Koordynatorzy przedmiotu

Anna Gołębiewska

Kryteria oceniania

Przedmiot kończy się egzaminem pisemnym oraz ustnym. Laboratorium kończy się zaliczeniem na ocenę, która wystawiana jest na podstawie dwóch sprawdzianów oraz aktywności. Podstawą do zaliczenia laboratorium jest obecność na zajęciach oraz otrzymanie pozytywnej oceny z obu sprawdzianów.
Efekty kształcenia sprawdzane na egzaminie pisemnym i ustnym: W1-W10, U1-U7, K3, K5
Efekty kształcenia sprawdzane na sprawdzianach: W1-W10, U1-U7, K1,K2, K4.

Literatura

Literatura podstawowa:
M Gewert, Z. Skoczylas, Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2008.
J. Ombach, Wykłady z równań różniczkowych wspomagane komputerowo - Maple, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków,
1999.
A. Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne: teoria i metody numeryczne z wykorzystaniem komputerowego systemu obliczeń
symbolicznych, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1999.
Literatura uzupełniająca:
J. Banasiak, K. Szymańska-Dębowska, Układy dynamiczne w modelowaniu procesów przyrodniczych, społecznych i technologicznych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2023.
J. D. Murray, Wprowadzenie do biomatematyki, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006.

Więcej informacji

Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb:

Strona przedmiotu 1000-MS1RowRozMod w USOSweb