Równania różniczkowe
1000-MS1-RowRoz
Wykład:
1. Elementy ilościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych
1.1. Pojęcia wstępne i przykłady (równanie różniczkowe zwyczajne i jego rozwiązanie, portrety fazowe i całkowe równań, przykłady równań różniczkowych zwyczajnych pochodzących z biologii lub ekonomii)
1.2. Istnienie i jednoznaczność rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych (lokalne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych)
1.3. Układy równań różniczkowych zwyczajnych (nieautonomicznych i autonomicznych) - twierdzenie o wariacji stałych, eksponenta macierzy
2. Elementy jakościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych
2.1. Klasyfikacja portretów fazowych liniowych autonomicznych równań różniczkowych na płaszczyźnie
2.2. Elementy teorii stabilności Lapunowa (stabilne i asymptotycznie stabilne rozwiązanie równania różniczkowego zwyczajnego, funkcja Lapunowa, twierdzenie o stabilności dla autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych, twierdzenie o stabilności dla liniowych autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych)
2.3. Nieliniowe autonomiczne równania różniczkowe zwyczajne (linearyzacja w położeniu równowagi, twierdzenie Hartmana-Grobmana)
2.4. Twierdzenie o bifurkacji Hopfa
2.5. Cykle graniczne (zbiory α- i ω-graniczne, rozwiązanie okresowe, stabilny i niestabilny cykl graniczny, twierdzenie Poincaré–Bendixsona)
3. Modelowanie i analiza zagadnień ekonomicznych
Ćwiczenia/Laboratorium:
1. Elementy ilościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych
1.1. Pojęcia wstępne (równanie różniczkowe zwyczajne i jego rozwiązanie, portrety fazowe i całkowe równań, zagadnienie początkowe)
1.2. Podstawowe typy równań różniczkowych zwyczajnych (równania różniczkowe o rozdzielonych zmiennych, liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu, równania Bernoulliego) i ich rozwiązania. Przykłady podstawowych typów równań różniczkowych zwyczajnych w modelach różnego rodzaju
1.3 Układy liniowych równań różniczkowych (układy liniowych równań różniczkowych zwyczajnych ze stałymi współczynnikami, eksponenta macierzy)
2. Elementy jakościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych z zastosowaniami
2.1. Stabilność Lapunowa oraz asymptotyczna stabilność, analiza portretu fazowego, tw. o stabilności dla liniowych autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych.
2.2. Nieliniowe autonomiczne równania różniczkowe zwyczajne - linearyzacja w położeniu równowagi, tw. Hartmana - Grobmana
Całkowity nakład pracy studenta
1. 30 godz. – wykład
15 godz. – ćwiczenia
15 godz. – laboratorium
5 godz. – egzamin/zal-o
2. 60 godz. – bieżące przygotowanie do zajęć, studiowanie literatury
3. 30 godz. – przygotowanie do egzaminu/zal-o
Efekty uczenia się - wiedza
W1: zna i rozumie pojęcie równania różniczkowego zwyczajnego i jego rozwiązania – K_W02;
W2: zna i rozumie pojęcie portretu fazowego i całkowego równania różniczkowego zwyczajnego – K_W02;
W3: zna i rozumie pojęcie jednoznaczności istnienia rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego z warunkiem początkowym – K_W02;
W4: zna lokalne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych – K_W02;
W5: zna twierdzenie o wariacji stałych – K_W02;
W6: zna i rozumie klasyfikację portretów fazowych liniowych autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych na płaszczyźnie – K_W02;
W7: zna i rozumie pojęcie stabilnego i asymptotycznie stabilnego rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego – K_W02;
W8: zna i rozumie pojęcie funkcji Lapunowa – K_W02;
W9: zna twierdzenie o stabilności dla autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych – K_W02;
W10: zna twierdzenie o stabilności dla liniowych autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych – K_W02;
W11: zna twierdzenie Hartmana-Grobmana – K_W02;
W12: zna i rozumie klasyfikację portretów fazowych nieliniowych autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych na płaszczyźnie – K_W02;
W13: zna twierdzenie o bifurkacji Hopfa – K_W02;
W14: zna i rozumie pojęcie stabilnego i niestabilnego cyklu granicznego – K_W02;
W15: zna twierdzenie Poincaré–Bendixsona – K_W02;
W16: zna podstawowe typy równań różniczkowych zwyczajnych (równania różniczkowe o rozdzielonych zmiennych, liniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu, równania Bernoulliego, układy liniowych równań różniczkowych zwyczajnych) – K_W02;
W17: zna przykłady modeli matematycznych w ekonomii – K_W01;
Efekty uczenia się - umiejętności
U1: potrafi sprawdzić czy dana funkcja jest rozwiązaniem równania różniczkowego zwyczajnego – K_U12;
U2: potrafi stosować lokalne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego – K_U06;
U3: potrafi stwierdzić brak jednoznaczności rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego z warunkiem początkowym – K_U06;
U4: potrafi rozwiązywać podstawowe typy równań różniczkowych zwyczajnych (równania różniczkowe o rozdzielonych zmiennych, liniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu, równania Bernoulliego, układy liniowych równań różniczkowych zwyczajnych) – K_U12 ;
U5: potrafi stosować twierdzenie o wariacji stałych – K_U06;
U6: potrafi rysować i klasyfikować portrety fazowe liniowych autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych na płaszczyźnie – K_U14;
U7: potrafi badać stabilność Lapunowa i asymptotyczną stabilność położeń równowagi liniowych autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych na płaszczyźnie – K_U14;
U8: potrafi badać stabilność Lapunowa i asymptotyczną stabilność położeń równowagi nieliniowych autonomicznych równań różniczkowych zwyczajnych na płaszczyźnie stosując twierdzenie Hartmana-Grobmana – K_U14;
U9: potrafi znajdować równowagę rynkową oraz określać jej stabilność Lapunowa w wybranych modelach ekonomicznych – K_U14;
U13: potrafi badać istnienie oraz stabilność cykli granicznych stosując twierdzenie Poincaré–Bendixsona lub współrzędne biegunowe – K_U14;
Efekty uczenia się - kompetencje społeczne
K1: pracuje systematycznie – K_K02;
K2: rozwija myślenie analityczne, wyobraźnię przestrzenną i rozumienie dynamicznego charakteru procesów – K_01;
K3: komunikuje się w zakresie przedmiotu Równania różniczkowe wykorzystując fachową terminologie i pojęcia – K_K03;
K4: widzi potrzebę ciągłego doskonalenia się i podnoszenia kompetencji zawodowych – K_K04;
K5: rozumie społeczną rolę zastosowań matematyki – K_K05;
Metody dydaktyczne
- pokaz
- wykład informacyjny (konwencjonalny)
- wykład problemowy
- ćwiczeniowa
- laboratoryjna
- klasyczna metoda problemowa
Metody dydaktyczne eksponujące
- pokaz
Metody dydaktyczne podające
- wykład informacyjny (konwencjonalny)
- wykład problemowy
Metody dydaktyczne poszukujące
- laboratoryjna
- ćwiczeniowa
- klasyczna metoda problemowa
Rodzaj przedmiotu
przedmiot obligatoryjny
Wymagania wstępne
Algebra liniowa
Analiza matematyczna I
Analiza matematyczna II
Koordynatorzy przedmiotu
Kryteria oceniania
Egzamin pisemny: W1 – W17, U1 – U13, K1 – K3
Kolokwia z ćwiczeń i laboratorium: W1 – W17, U1 – U13, K1 – K3
Zaliczenie ćwiczeń i laboratorium studenci uzyskują na podstawie obecności na zajęciach oraz otrzymania pozytywnej oceny ze sprawdzianu.
Praktyki zawodowe
Literatura
Literatura podstawowa:
M Gewert, Z. Skoczylas, Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2008.
J. Ombach, Wykłady z równań różniczkowych wspomagane komputerowo - Maple, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków, 1999.
A. Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne: teoria i metody numeryczne z wykorzystaniem komputerowego systemu obliczeń symbolicznych, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1999.
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i
terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: