Modelowanie i symulacje stochastyczne 1000-MS1-ModSymStoch

Wykład:
1. Prosta metoda Monte Carlo a prawo wielkich liczb. Metoda odwracania dystrybuanty.
2. Specjalne metody Monte Carlo. Metoda eliminacji i jej warianty.
3. Próbkowanie ważone. Redukcja wariancji metodą ujemnych korelacji.
4. Łańcuchy Markowa z dyskretną przestrzenią stanów. Własność Markowa.
5. Rozkłady stacjonarne. Równania równowagi szczegółowej.
6. Klasyfikacja stanów łańcucha Markowa. Twierdzenie ergodyczne dla łańcuchów Markowa.
7. Algorytmy MCMC.
8. Twierdzenia o powracaniu dla łańcuchów Markowa. Błądzenia losowe.
9. Rozkłady stacjonarne a średnie czasy powrotu.
10. Warunkowa wartość oczekiwana na L^2.
11. Warunkowa wartość oczekiwana na L^1.
12. Prognoza.
13. Elementy teorii martyngałów.
14. Zbieżność martyngałów. Znaki losowe.
15. Proces Wienera.
16. Konstrukcja procesu Wienera.
17. Punktowy proces Poissona. Kompletna losowość.
18. Proces Poissona.
19. Model Cramera-Lundberga. Równanie odnowy.
20. Model „non profit”. Prawo 0-1 Kołmogorowa.
21. Systemy obsługi masowej.
22. Stochastyczne modele zdarzeń ekstremalnych.

Ćwiczenia.
1. Metody generowania zmiennych losowych o różnych rozkładach.
2. Wariacje nt. metody Monte Carlo.
3. Transformacje zmiennych i wektorów losowych i zastosowania do metod specjalnych Monte Carlo.
4. Weryfikacja własności stanów wybranych łańcuchów Markowa.
5. Znajdowanie rozkładów stacjonarnych wybranych łańcuchów Markowa.
6. Zastosowania twierdzenia ergodycznego dla łańcuchów Markowa.
7. Wyznaczanie rozkładów warunkowych i warunkowej wartości oczekiwanej.
8. Martyngały z czasem dyskretnym jako gra sprawiedliwa – analiza przykładów.
9. Własności procesu Wienera.
10. Własności procesu Poissona.
11. Analiza przykładów punktowych procesów Poissona.
12. Szacowanie prawdopodobieństwa ruiny w modelu Cramera-Lundberga.
13. Obliczanie charakterystyk systemów kolejkowych.

Laboratorium.
1. Symulacja zmiennych losowych o różnych rozkładach: metoda odwracania dystrybuanty, metoda eliminacji itp.
2. Przybliżone obliczanie całek oznaczonych za pomocą metody Monte Carlo i kontrola dokładności obliczeń.
3. Symulacje łańcuchów Markowa.
4. Zastosowania metod Monte Carlo opartych na łańcuchach Markowa. Algorytm Metropolisa.
5. Implementacja algorytmu symulowanego wyżarzania w problemie ekstremalnym.
6. Symulacja punktowych procesów Poissona.
7. Symulacja procesu Wienera.
8. Symulacja wybranych systemów kolejkowych i testowanie ich charakterystyk.