Modelowanie matematyczne 1000-MS1-ModMat

Wykład:
Modele populacyjne: dyskretne i ciągłe modele dla populacji jednogatunkowej; macierze Lesliego i podejście McKendricka w opisie
struktury wiekowej; układy gospodarz-pasożyt, drapieżnik-ofiara i konkurowania gatunków; modele z opóźnieniem i rekurencyjne.

Modele w epidemiologii i immunologii: epidemie typu SIS i SIR; interpretacja współczynników; endemia w modelu SIR; uwzględnienie
struktury wiekowej; szczepienia; system immunologiczny i HIV.

Modelowanie ośrodków ciągłych: koncentracja i strumień; dywergencja; równanie transportu; warunki brzegowe; prawo Fouriera i równanie ciepła; prawo Ficka i równanie reakcji-dyfuzji; czas dyfuzji; rozwiązania Barrenblatta.

Zjawisko wędrującej fali: wędrujące fale w równaniu reakcji-dyfuzji; rozprzestrzenianie się piżmaka; przestrzenny rozwój epidemii typu
SIR na przykładzie wścieklizny wśród lisów.

Kinematyka reakcji chemicznych: prawo mas; sieci chemiczne; redukcja Michaelisa-Menten; reakcje enzymatyczne; efekt binarny;
różnicowanie się komórek w tkance.

Zjawiska okresowe: wahadła; drgania wymuszone; rezonans; oscylator Van der Pola.

Ćwiczenia:
Analiza dynamiki dyskretnych układów dynamicznych w jednym wymiarze na przykładzie równania logistycznego; tworzenie diagramu bifurkacji dla zagadnień dyskretnych.

Symulacje w modelach epidemiologicznych, wyznaczanie rozmiarów epidemii, liczby wszystkich zakażonych, analiza punktów równowagi w układach endemicznych.

Wibracje/drgania z jednym stopniem swobody: częstotliwości drgań własnych, drgania wymuszone, rezonans.
Drgania tłumione: współczynnik tłumienia, przesunięcie fazowe, zmiany częstotliwości, metoda peak-picking, transformaty Laplace'a i transmitancje z zastosowaniem do analizy drgań.
Analiza drgań: wpływ warunków początkowych na przebieg drgań, układy z nieliniowym tłumieniem.

Układy o dwóch stopniach swobody: zastosowanie do diagnostyki skuteczności tłumienia drgań w układzie zawieszenia w pojeździe.

Symulacje numeryczne zagadnień reakcji-dyfuzji i zjawisk falowych.

Konwersatorium:
Zastosowania do złożonych zagadnień: modelowanie ruchu ulicznego;
model katalizatora samochodowego (zasada działania, wyprowadzenie równań, zagadnienie optymalnego rozgrzewania po uruchomieniu silnika).
wzrost nowotworów (istnienie strefy nekrotycznej i proliferacyjnej, szacowanie rozmiarów, odpowiedź systemu immunologicznego).

Przykładowe projekty:
- Model krystalizacji Kołmogorowa-Avramiego i jego modyfikacje;
- „Czy zawór wytrzyma?” - zagadnienie B. C. Hydro;
- Dynamika ruchu drogowego. Zagadnienie zielonego światła;
- Zagadnienie zrównoważonego połowu;
- Równowaga reaktora chemicznego;
- Zachowanie warstw cieczy pomiędzy przesuwanymi płytami;
- Analiza elastyczności płyty z otworami;
- Zagadnienie Stefana - podejście numeryczne;
- Siły elektromagnetyczne w nadprzewodzących zwojach.