Analiza matematyczna III 1000-MS1-AnMat3

Treści programowe wykładu:
1) Granice i ciągłość funkcji wielu zmiennych
2) Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych i wektorowych wielu zmiennych
a) Pochodna kierunkowa, cząstkowa i ich własności;
b) Pojęcie pochodnej, macierz Jacobiego, gradient funkcji rzeczywistej i ich interpretacja geometryczna;
c) Pochodna: sumy, iloczynu i złożenia odwzorowań, reguła łańcucha;
d) Pochodne wyższych rzędów, macierz Hessa, twierdzenie Schwarza;
e) Ekstrema lokalne, warunek konieczny i dostateczny;
f) Twierdzenie o funkcji uwikłanej i o lokalnym odwracaniu odwzorowań;
g) Ekstrema związane, metoda mnożników Lagrange’a.
3) Całka funkcji wielu zmiennych
a) Informacja o konstrukcji całki Riemanna funkcji wielu zmiennych;
b) Zamiana całki wielokrotnej na całki iterowane, twierdzenie Fubiniego;
c) Zamiana zmiennych w całce, współrzędne biegunowe, sferyczne i walcowe;
d) Zastosowania całki podwójnej i potrójnej;
e) Całki krzywoliniowe i powierzchniowe.
Treści programowe ćwiczeń:
1) Obliczanie granic i badanie ciągłości funkcji wielu zmiennych.
2) Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych i wektorowych wielu zmiennych
a) Obliczanie pochodnych kierunkowych i cząstkowych;
b) Obliczanie macierzy Jacobiego i gradientu funkcji rzeczywistej;
c) Wykorzystanie własności pochodnej w obliczeniach;
d) Znajdowanie ekstremów lokalnych;
e) Znajdowanie ekstremów związanych.
3) Całka funkcji wielu zmiennych
a) Obliczanie całki Riemanna funkcji wielu zmiennych;
b) Zastosowanie twierdzenia Fubiniego do obliczania całek;
c) Zastosowanie zamiany zmiennych w całce do obliczeń;
d) Wykorzystanie całki podwójnej i potrójnej w zastosowaniach.