Analiza matematyczna II 1000-MS1-AnMat2

Treści programowe wykładu:
1) Granica i ciągłość funkcji
a) Definicja ciągowa i otoczeniowa granicy funkcji w punkcie;
b) Własności granic;
c) Granice niewłaściwe;
d) Pojęcie ciągłości, podstawowe własności funkcji ciągłych, ciągłość funkcji elementarnych;
e) Twierdzenia Darboux i Weierstrassa.
2) Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
a) Pojęcie pochodnej i jej interpretacja;
b) Pochodne funkcji elementarnych;
c) Pochodna: sumy, iloczynu, ilorazu, złożenia funkcji oraz funkcji odwrotnej;
d) Twierdzenia o wartości średniej: Rolle’a, Cauchy’ego i Lagrange’a;
e) Reguła de L’Hospitala;
f) Pochodne wyższych rzędów;
g) Twierdzenie Taylora i jego zastosowania;
h) Ekstrema funkcji – warunek konieczny i dostateczny;
i) Badanie przebiegu zmienności funkcji: monotoniczność, wypukłość i asymptoty;
j) Przybliżone rozwiązywanie równań.
3) Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej
a) Funkcja pierwotna i jej wyznaczanie: metoda przez podstawianie i przez części;
b) Konstrukcja całki Riemanna, sumy Riemanna;
c) Własności całki, twierdzenia o wartości średniej;
d) Twierdzenie Leibniza – Newtona (podstawowe twierdzenie rachunku całkowego);
e) Informacja o numerycznym wyznaczaniu całki;
f) Całki niewłaściwe i kryteria ich zbieżności.
4) Ciągi i szeregi funkcyjne, szeregi potęgowe
a) Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów i szeregów funkcyjnych, kryteria zbieżności jednostajnej;
b) Różniczkowanie i całkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych;
c) Szeregi potęgowe, promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego, twierdzenie Hadamarda;
d) Rozwijanie funkcji w szereg Taylora.
Treści programowe ćwiczeń:
1) Granica i ciągłość funkcji
a) Obliczanie granicy funkcji w punkcie;
b) Obliczanie granic niewłaściwych;
c) Badanie ciągłości funkcji;
d) Stosowanie twierdzeń Darboux i Weierstrassa.
2) Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
a) Wyznaczanie z definicji pochodnej funkcji;
b) Wykorzystywanie własności do obliczania pochodnych;
c) Zastosowanie twierdzeń o wartości średniej;
d) Obliczanie granic funkcji przy pomocy reguły de L’Hospitala;
e) Obliczanie pochodnych wyższych rzędów;
f) Zapisywanie wzorów Taylora dla funkcji;
g) Wyznaczanie ekstremów funkcji;
h) Badanie przebiegu zmienności funkcji: określanie przedziałów monotoniczności i wypukłości, wyznaczanie asymptot oraz szkicowanie wykresów funkcji;
i) Znajdowanie przybliżonych rozwiązań równań przy pomocy metod numerycznych.
3) Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej
a) Wyznaczanie funkcji pierwotnej przy wykorzystaniu podstawowych własności, metody przez części i przez podstawienie;
b) Całkowanie funkcji wymiernych i niewymiernych;
c) Obliczanie całki oznaczonej przy użyciu twierdzenia Newtona-Leibniza;
d) Zastosowania geometryczne całki oznaczonej.
4) Ciągi i szeregi funkcyjne, szeregi potęgowe
a) Badanie zbieżności punktowej i jednostajnej ciągów i szeregów funkcyjnych;
b) Różniczkowanie i całkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych;
c) Rozwijanie funkcji w szereg potęgowy, wyznaczanie promienia i obszaru zbieżności;
d) Rozwijanie funkcji w szereg Taylora.