Analiza matematyczna I 1000-MS1-AnMat1

Treści programowe wykładu:
1) Pojęcia wstępne
a) Elementy rachunku zdań i kwantyfikatorów;
b) Elementarna teoria zbiorów;
c) Pojęcie funkcji, funkcje różnowartościowe , „na” i odwracalne.
2) Liczby rzeczywiste
a) Uwagi historyczne i podejście „naturalne”;
b) Definicja aksjomatyczna zbioru liczb rzeczywistych;
c) Konsekwencje aksjomatów algebraicznych i porządkowych, wartość bezwzględna;
d) Definicja i własności kresów zbioru;
e) Zasada Archimedesa i twierdzenie Cantora;
f) Równoliczność, przeliczalność i nieprzeliczalność zbiorów;
g) Zbiory liczb: naturalnych, całkowitych i wymiernych;
h) Podstawowe nierówności.
3) Ciągi liczbowe
a) Prawie wszystkie i nieskończenie wiele wyrazów ciągu;
b) Definicja i własności granicy ciągu, twierdzenie o trzech ciągach;
c) Ciągi ograniczone i monotoniczne, liczba e;
d) Granice niewłaściwe ciągu;
e) Twierdzenie Stolza;
f) Własność Cauchy’ego, zupełność;
g) Podciągi, twierdzenie Bolzano-Weierstrassa;
h) Punkty skupienia, granice dolna i górna ciągu.
4) Szeregi liczbowe
a) Zbieżność szeregu, warunek konieczny zbieżności;
b) Kryteria zbieżności dla szeregów o wyrazach nieujemnych;
c) Kryteria zbieżności dla szeregów o wyrazach dowolnych;
d) Zbieżność bezwzględna i warunkowa.
Treści programowe ćwiczeń
1) Stosowanie notacji reguł wnioskowania w ramach wiadomości wstępnych
a) Sprawdzanie wartości logicznej zdań oraz zastosowanie kwantyfikatorów;
b) Wykonywanie operacji na zbiorach;
c) Badanie różnowartościowości, wyznaczanie obrazów, przeciwobrazów i funkcji odwrotnych.
2) Własności liczb rzeczywistych
a) Uzasadnianie wybranych własności działań na liczbach oraz własności porządkowych ;
b) Posługiwanie się wartością bezwzględną;
c) Operowanie pojęciem kresu zbioru oraz jego własnościami;
d) Wyznaczanie kresów zbioru;
e) Posługiwanie się zasadą Archimedesa i twierdzeniem Cantora;
f) Badanie równoliczności i przeliczalności zbiorów;
g) Wykorzystanie podstawowych nierówności w zadaniach i przykładach.
3) Badanie własności ciągów liczbowych
a) Wyznaczanie granicy ciągu z definicji z wykorzystaniem pojęcia prawie wszystkich wyrazów ciągu;
b) Obliczanie granicy ciągu;
c) Badanie monotoniczności i ograniczoności ciagów;
d) Wyznaczanie granic niewłaściwych;
e) Wykorzystanie twierdzenia Stolza do wyznaczania granicy ciągu;
f) Sprawdzanie własności Cauchy’ego ciągu;
g) Konstrukcje podciągów ;
h) Wyznaczanie granic górnych, dolnych i punktów skupienia oraz uzasadnianie ich własności.
4) Badanie zbieżności szeregów liczbowych
a) Przykłady szeregów zbieżnych i rozbieżnych;
b) Wykorzystanie kryterium porównawczego, kryteriów d’Alemberta i Cauchyego;
c) Wykorzystanie kryterium Dirichleta i Abela;
d) Przykłady szeregów zbieżnych bezwzględnie i zbieżnych warunkowo, zmiana kolejności sumowania.