Zastosowania topologii algebraicznej 1000-M2ZasTopAlg

Program wykładu i ćwiczeń:

1. Elementy teorii grup
- grupa wolna, ilorazowa, normalna, komutant, nieprzemienna grupa wolna
- podgrupa generowana przez zbiór
2. Homotopie odwzorowań ciągłych oraz grupa podstawowa przestrzeni
- retrakcja, retrakcja deformacyjna
- homotopia, homotopijna równoważność
- grupa podstawowa
3. Przestrzenie nakrywające
- pojęcie nakrycia
- twierdzenia o podnoszeniu
4. Kompleksy łańcuchów i ich homologie
5. Kompleksy symplicjalne i singularne
6. Homologie symplicjalne i singularne
- homologie absolutnie i relatywne
- ciąg dokładny homologii
- twierdzenie o wycinaniu
- ciąg Mayera-Vietorisa
7. Elementy teorii kohomologii
8. Zastosowania w analizie nieliniowej i rachunku wariacyjnym
- konstrukcja stopnia topologicznego
- twierdzenie Lefschetza o punkcie stałym
- grupy krytyczne

Całkowity nakład pracy studenta

30 godz. – wykład 2 godz. – egzamin(y) 30 godz. – ćwiczenia 28 godz. – praca własna - bieżące przygotowanie do zajęć, studiowanie literatury, 30 godz. praca własna – przygotowanie do egzaminu Razem 120 godz. 6 pkt. ECTS

Efekty uczenia się - wiedza

W1: zna przykłady zastosowań teorii homotopii oraz homologi w analizie matematycznej oraz topologii (K_W01). W2: zna metody konstrukcji długich ciągów dokładnych zarówno w teorii homotopii, jaki i teorii homologii (K_W02). W3: zna podstawowe algorytmy wyliczania grup homotopii oraz grup homologii zwartych wielościanów (K_W02). W4: zna przykłady zastosowań metod z topologi algebraicznej w innych dziedzinach matematyki (K_W02)

Efekty uczenia się - umiejętności

U1: umie sformułować podstawowe pojęcia i twierdzenia z topologi algebraicznej oraz wyjaśnić je na podstawie przykładów i podać wybrane dowody (K_U01). U2: umie dostrzegać kategoryjną naturę obiektów matematycznych, z którymi zapoznaje się na innych przedmiotach (K_U09). U3: umie zilustrować związki teorii homotopii oraz homologii z zagadnieniami omawianymi w ramach innych przedmiotów (K_U01).

Efekty uczenia się - kompetencje społeczne

K1: przekazuje innym swoją wiedzę i przemyślenia w zrozumiały sposób; właściwie rozumie sformułowania pytań i problemów, poprawnie posługuje się terminologią fachową (K_K02). K2: rozumie potrzebę ciągłego doskonalenia się (K_K03).

Metody dydaktyczne

Wykład prowadzony metodą tradycyjną. Wprowadzane pojęcia i fakty ilustrowane przykładami. Ćwiczenia z bezpośrednim udziałem nauczyciela akademickiego wzbogacone o zestawy zadań do indywidualnego rozwiązania.

Metody dydaktyczne podające

- wykład problemowy
- pogadanka

Metody dydaktyczne poszukujące

- referatu
- ćwiczeniowa

Wymagania wstępne

Zaliczenie następujących przedmiotów: topologia, analiza matematyczna I, analiza matematyczna II. kursowy przedmiot z topologii algebraicznej

Koordynatorzy przedmiotu

Robert Skiba

Kryteria oceniania

Zaliczenie wykładu: egzamin pisemny i/lub ustny. Studenta obowiązuje materiał prezentowany w trakcie wykładu; weryfikacja efektów: W1, W2, W3, K1, K2.
Ćwiczenia kończą się zaliczeniem na ocenę. Ocena będzie wystawiana na podstawie sprawdzianu i/lub referatu; weryfikacja efektów: U1, U2. U3, K1, K2.

Literatura

Literatura obowiązkowa:
[1] Chen Ji-Xiu, Problems and solutions in mathematics, Singapore: World Scientific, 2011.
[2] S. Balcerzyk, Wstęp to teorii homologii, PWN, Warszawa (1970).
[3] M.J. Greenbeg, Lectures on algebraic topology, New York, Benjamin (1967) (istnieje przekład polski).
[4] J.J. Rotman, An Introduction to Algebraic Topology, Springer-Verlag (1988).
Literatura uzupełniająca:
[5] E. Spanier, Topologia algebraiczna, PWN, Warszawa, (1972).
[6] A. Hatcher, Algebraic topology, Cambridge University Press (2002).
[7] Cz. Kosniowski, A first course in algebraic topology, Cambridge University Press, Cambridge (1980) (istnieje przekład polski).
[8] A. Białynicki-Birula, Zarys algebry, PWN, Biblioteka matematyczna, tom 63 (1987).
[9] A. Białynicki-Birula, Algebra, PWN, Biblioteka matematyczna, tom 40 (1973).

Więcej informacji

Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb:

Strona przedmiotu 1000-M2ZasTopAlg w USOSweb