Topologia z elementami geometrii 1000-M2TOPGEO

Rozkład materiału:

1. Przypomnienie podstawowych wiadomości o przestrzeniach metrycznych.
- metryka, metryka indukowana w podzbiorze,
- iloczyny przestrzeni metrycznych, przestrzenie euklidesowe,
- zbiory otwarte i domknięte,
- ciągi zbieżne i fundamentalne,
- odwzorowania ciągłe, homeomorfizmy.
2. Przestrzenie topologiczne; przestrzenie metryczne jako przykłady przestrzeni topologicznych.
- topologia w zbiorze, baza topologii,
- topologia podprzestrzeni i topologia produktowa.
3. Wnętrza i domknięcia zbiorów w przestrzeniach topologicznych
- rodzina zbiorów domkniętych
- definicje wnętrza, domknięcia i brzegu zbioru oraz ich własności.
4. Odwzorowania ciągłe przestrzeni topologicznych
- definicja i warunki równoważne ciągłości,
- własności odwzorowań ciągłych,
- topologie wprowadzone za pomocą funkcji, przykład przestrzeni rzutowej,
- homeomorfizmy, odwzorowania otwarte i domknięte, topologiczna równoważność (homeomorficzność) zbiorów
5. Podstawowe informacje o aksjomatach oddzielania - przestrzenie metryczne jako przestrzenie normalne.
6. Przestrzenie metryczne zupełne.
7. Przestrzenie topologiczne zwarte
- definicja topologiczna i podstawowe własności
- charakteryzacja przestrzeni metrycznych zwartych
- liczba Lebesgue'a pokrycia.
8. Przestrzenie topologiczne spójne
- definicja i podstawowe własności
- podzbiory spójne przestrzeni euklidesowych
- łukowa spójność.
9. Rozmaitości topologiczne zanurzone w przestrzeniach euklidesowych
- definicja rozmaitości bez brzegu i z brzegiem, przykłady
- problem klasyfikacji rozmaitości
10. Homotopie
- odwzorowania homotopijne,
- homotopijna równoważność, typ homotopii, przestrzenie ściągalne,
- mocne retrakty deformacyjne.
11. O topologicznym charakterze wymiaru przestrzeni euklidesowej
- sympleksy i triangulacje, twierdzenie o realizacji,
- lemat Spernera i jego konsekwencje (twierdzenia równoważne nieistnieniu retrakcji sympleksu na jego brzeg),
- twierdzenie o niehomeomorficzności przestrzeni euklidesowych o różnym wymiarze.
12. Wzór Eulera i bryły platońskie
- aksjomat Pasha i twierdzenie Jordana-Dehna o rozcinaniu płaszczyzny łamaną,
- rozcinanie płaszczyzny krzywą zamkniętą bez samoprzecięć,
- wzór Eulera dla grafów,
- twierdzenie o bryłach platońskich.

Całkowity nakład pracy studenta

30 godz. – wykład 2 godz. - egzamin 30 godz. - ćwiczenia: 53 godz. - praca własna - bieżące przygotowanie do zajęć, studiowanie literatury, 35 godz. praca własna - przygotowanie do egzaminu. RAZEM: 150 godz. 6 pkt. ECTS

Efekty uczenia się - wiedza

Student(ka): W1: zna i rozumie w pogłębionym stopniu własności topologiczne podzbiorów przestrzeni euklidesowych i metrycznych w odniesieniu do podstawowych pojęć topologii - K_W01, K_W02, W2: zna wybrane powiązania topologii z geometrią podzbiorów przestrzeni euklidesowych - K_W01, K_W02.

Efekty uczenia się - umiejętności

Student(ka): U1: potrafi analizować topologiczne własności konkretnych zbiorów i wyznaczać ich wnętrza i domknięcia - K_U01, K_U04, U2: potrafi badać równoważność obiektów topologicznych ze względu na wybrane relacje równoważności (homeomorficzność, homotopijną równoważność, homotopijność, itp.)- K_U04, K_U08, U3: rozpoznaje i bada własności rozmaitości topologicznych zanurzonych w przestrzeniach euklidesowych - K_U04, U4: potrafi wykorzystywać własności topologiczne zbiorów i funkcji do rozwiązywania zadań o charakterze jakościowym - K_U01, K_U07, U5: potrafi stosować wiedzę z zakresu topologii do analizy obiektów geometrycznych - K_U07.

Efekty uczenia się - kompetencje społeczne

Student(ka): K1: jest gotowy do posługiwania się terminologią "topologiczną" w dyskusjach matematycznych i dzielenia się swoją wiedzą w zrozumiały sposób - K_K03, K2: jest gotowy do analizowania problemów z zastosowaniem zasad logiki - K_K02, K_K03, K_K04i.

Metody dydaktyczne

Wykład informacyjny (metoda podająca). Wprowadzane pojęcia i fakty ilustrowane przykładami. Ćwiczenia z bezpośrednim udziałem nauczyciela akademickiego wzbogacone o zadania do indywidualnego rozwiązania.

Metody dydaktyczne podające

- wykład informacyjny (konwencjonalny)

Metody dydaktyczne poszukujące

- ćwiczeniowa

Wymagania wstępne

Student powinien mieć wcześniej zaliczony cały kurs analizy matematycznej.

Koordynatorzy przedmiotu

Grzegorz Gabor

Kryteria oceniania

Ćwiczenia kończą się zaliczeniem na ocenę wystawioną na postawie krótkich sprawdzianów i kolokwium końcowego. Sprawdzane jest osiągnięcie efektów uczenia się w zakresie umiejętności wskazanych w sylabusie U1 - U5 oraz kompetencje K1, K2.

Egzamin końcowy sprawdza efekty uczenia się w zakresie wiedzy (W1, W2), umiejętność ilustrowania poznanych pojęć topologicznych przykładami i przeprowadzania rozumowań matematycznych z użyciem tych pojęć i zaprezentowanych twierdzeń oraz efekty K1, K2. Na ocenę dostateczną wymagane jest poprawne przedstawienie wskazanych pojęć i twierdzeń, zilustrowanie ich przykładami oraz wykazanie się umiejętnością przeprowadzenia prostego rozumowania dowodowego. Wyższa ocena zależy od poziomu umiejętności przeprowadzania dowodów poznanych faktów i sprawności w posługiwaniu się pojęciami topologicznymi.

Literatura

Literatura podstawowa:

1. R. Engelking, K. Sieklucki, Geometria i topologia cz. II Topologia, PWN, Warszawa 1980.
2. K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, PWN, Warszawa (wiele wydań)
3. J. Mioduszewski, Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych, Wydawnictwo UŚ, Katowice 1994.

Literatura uzupełniająca:

1. A.W. Archangielski, P.T. Ponomariow, Podstawy topologii ogólnej w zadaniach, PWN, Warszawa 1986.
2. I. Dominik, Z. Lewandowska, Zbiór zadań z topologii ogólnej, Wydawnictwo Akademii Pomorskiej w Słupsku, 2008.
3. J. M. Jędrzejewski, W. Wilczyński, Przestrzenie metryczne w zadaniach, Wydawnictwo UŁ, Łódź, 1990.
4. W. Rzymowski, Przestrzenie metryczne w analizie, Wydawnictwo UMCS, Lublin 2002
5. K. Sieklucki, Geometria i topologia cz. I Geometria, PWN, Warszawa 1978.

Uwagi

W cyklu 2022/23Z:

Przedmiot wspomagany kursem na platformie Moodle o kodzie TEG-2022/23.

W cyklu 2023/24Z:

Przedmiot wspomagany kursem na platformie Moodle o kodzie TEG-2023/24.

W cyklu 2024/25Z:

Przedmiot wspomagany kursem na platformie Moodle o kodzie TEG-2024/25.

W cyklu 2025/26Z:

Przedmiot wspomagany kursem na platformie Moodle.

Więcej informacji

Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb:

Strona przedmiotu 1000-M2TOPGEO w USOSweb