Topologiczna analiza nieliniowa
1000-M2TAN
1. Rozwiązania okresowe układów hamiltonowskich jako punkty krytyczne funkcjonałów S^1-niezmienniczych.
2. Niezmienniczy indeks Conley'a.
3. Twierdzenia o bifurkacji Hopfa.
4. Twierdzenia Lapunova o centrum.
5. Twierdzenia Mosera-Weinsteina.
6. Twierdzenie Fadella-Rabinowitza.
7. Twierdzenie Bartscha.
8. Twierdzenie Dancera dla izolowanych zdegenerowanych położeń równowagi.
9. Zastosowania do problemów mechaniki nieba.
Całkowity nakład pracy studenta
60 godzin - proseminarium;
40 godz. - praca własna - bieżące przygotowanie do zajęć, studiowanie literatury;
Razem 100 godzin.
6 punkty ECTS
Efekty uczenia się - wiedza
Po ukończeniu kursu 1000-M2TAN student osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów II stopnia na kierunku matematyka):
W1: zna i rozumie pojęcie i własności potoku indukowanego przez równanie różniczkowe zwyczajne (K_W03);
W2: zna klasyfikację portretów fazowych równań różniczkowych w otoczeniu położenia równowagi (K_W02,K_W03);
W3: zna warunki konieczne istnienia niestacjonarnych rozwiązań okresowych okresowych autonomicznych równań różniczkowych w otoczniu położenia równowagi (K_W03,K_W04);
W4: zna warunki dostateczne istnienia niestacjonarnych rozwiązań okresowych okresowych autonomicznych równań różniczkowych w otoczniu położenia równowagi (K_W03,K_W04);
W5: zna i potrafi zastosować twierdzenia o bifurkacji Hopfa, twierdzenia Lapunova o centrum, twierdzenie Mosera-Weinsteina, Fadella-Rabinowitza oraz Bartscha (K_W03,K_W04);
Efekty uczenia się - umiejętności
Po ukończeniu kursu 1000-M2TAN student osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów II stopnia na kierunku matematyka):
U1: analizuje i klasyfikuje portrety fazowe równań różniczkowych zwyczajnych (K_U04,K_U06);
U2: stosuje metody linearyzacji do opisu struktury jakościowej portretu fazowego równania różniczkowego w otoczeniu położenia równowagi (K_U01, K_U04,K_U06);
U3: weryfikuje warunki konieczne i dostateczne istnienia niestacjonarnych rozwiązań okresowych równań różniczkowych w otoczeniu położenia równowagi (K_U04, K_U06);
U4: potrafi weryfikować założenia i stosować twierdzenia o bifurkacji Hopfa, twierdzenia Lapunova o centrum, twierdzeń Mosera-Weinsteina, Fadella-Rabinowitza oraz Bartscha (K_U04, K_U06));
U5: potrafi stosować powyższe twierdzenia do badania rozwiązań okresowych ograniczonego zagadnienia 3-ciał (K_U01, K_U02, K_U03, K_U07)
Efekty uczenia się - kompetencje społeczne
Po ukończeniu kursu 1000-M2TAN student osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów II stopnia na kierunku matematyka):
K1: rozumie we właściwy sposób sformułowania pytań i problemów, poprawnie posługuje się terminologią fachową (K_K02);
K2: widzi potrzeby dalszego zdobywania wiedzy i doskonalenia się (K_K03);
K3: przekazuje zdobytą wiedzę w zrozumiały sposób (K_K02).
Koordynatorzy przedmiotu
Metody dydaktyczne eksponujące
- pokaz
Metody dydaktyczne podające
- pogadanka
- wykład problemowy
Metody dydaktyczne poszukujące
- klasyczna metoda problemowa
- seminaryjna
Rodzaj przedmiotu
przedmiot szczegółowy (atrybut wycofany)
Wymagania wstępne
Studenci uczęszczający na ten wykład powinni ukończyć wcześniej kursy Analizy Matematycznej, Topologii oraz Równań Różniczkowych Zwyczajnych.
Kryteria oceniania
Egzamin ustny: W1, W2, W3, W4, W5, U1, U2, U3, U4, U5, K1, K2, K3.
Literatura
1. J. Mawhin & M. Willem, Critical point theory and Hamiltonian systems, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1989.
2. K.R. Meyer. G.R. Hall & D. Offin, Introduction to Hamiltonian dynamical systems nd the N-body problem, Applied Mathematical Sciences 90, Springer, 2009.
3. M. Struwe, Variational methods. Applications to nonlinear partial differential equations and Hamiltonian systems, Springer, 1996.
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i
terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: