Topologiczna analiza nieliniowa
1000-M2TAN
1. Rozwiązania okresowe układów hamiltonowskich jako punkty krytyczne funkcjonałów S^1-niezmienniczych.
2. Niezmienniczy indeks Conley'a.
3. Twierdzenia o bifurkacji Hopfa.
4. Twierdzenia Lapunova o centrum.
5. Twierdzenia Mosera-Weinsteina.
6. Twierdzenie Fadella-Rabinowitza.
7. Twierdzenie Bartscha.
8. Twierdzenie Dancera dla izolowanych zdegenerowanych położeń równowagi.
9. Zastosowania do problemów mechaniki nieba.
Całkowity nakład pracy studenta
60 godzin - proseminarium;
40 godz. - praca własna - bieżące przygotowanie do zajęć, studiowanie literatury;
Razem 100 godzin.
6 punkty ECTS
Efekty uczenia się - wiedza
Po ukończeniu kursu 1000-M2TAN student osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów II stopnia na kierunku matematyka):
W1: zna i rozumie pojęcie i własności potoku indukowanego przez równanie różniczkowe zwyczajne (K_W03);
W2: zna klasyfikację portretów fazowych równań różniczkowych w otoczeniu położenia równowagi (K_W02,K_W03);
W3: zna warunki konieczne istnienia niestacjonarnych rozwiązań okresowych okresowych autonomicznych równań różniczkowych w otoczniu położenia równowagi (K_W03,K_W04);
W4: zna warunki dostateczne istnienia niestacjonarnych rozwiązań okresowych okresowych autonomicznych równań różniczkowych w otoczniu położenia równowagi (K_W03,K_W04);
W5: zna i potrafi zastosować twierdzenia o bifurkacji Hopfa, twierdzenia Lapunova o centrum, twierdzenie Mosera-Weinsteina, Fadella-Rabinowitza oraz Bartscha (K_W03,K_W04);
Efekty uczenia się - umiejętności
Po ukończeniu kursu 1000-M2TAN student osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów II stopnia na kierunku matematyka):
U1: analizuje i klasyfikuje portrety fazowe równań różniczkowych zwyczajnych (K_U04,K_U06);
U2: stosuje metody linearyzacji do opisu struktury jakościowej portretu fazowego równania różniczkowego w otoczeniu położenia równowagi (K_U01, K_U04,K_U06);
U3: weryfikuje warunki konieczne i dostateczne istnienia niestacjonarnych rozwiązań okresowych równań różniczkowych w otoczeniu położenia równowagi (K_U04, K_U06);
U4: potrafi weryfikować założenia i stosować twierdzenia o bifurkacji Hopfa, twierdzenia Lapunova o centrum, twierdzeń Mosera-Weinsteina, Fadella-Rabinowitza oraz Bartscha (K_U04, K_U06));
U5: potrafi stosować powyższe twierdzenia do badania rozwiązań okresowych ograniczonego zagadnienia 3-ciał (K_U01, K_U02, K_U03, K_U07)
Efekty uczenia się - kompetencje społeczne
Po ukończeniu kursu 1000-M2TAN student osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów II stopnia na kierunku matematyka):
K1: rozumie we właściwy sposób sformułowania pytań i problemów, poprawnie posługuje się terminologią fachową (K_K02);
K2: widzi potrzeby dalszego zdobywania wiedzy i doskonalenia się (K_K03);
K3: przekazuje zdobytą wiedzę w zrozumiały sposób (K_K02).
Metody dydaktyczne eksponujące
- pokaz
Metody dydaktyczne podające
- pogadanka
- wykład problemowy
Metody dydaktyczne poszukujące
- klasyczna metoda problemowa
- seminaryjna
Rodzaj przedmiotu
przedmiot szczegółowy (atrybut wycofany)
Wymagania wstępne
Studenci uczęszczający na ten wykład powinni ukończyć wcześniej kursy Analizy Matematycznej, Topologii oraz Równań Różniczkowych Zwyczajnych.
Koordynatorzy przedmiotu
Kryteria oceniania
Egzamin ustny: W1, W2, W3, W4, W5, U1, U2, U3, U4, U5, K1, K2, K3.
Literatura
1. J. Mawhin & M. Willem, Critical point theory and Hamiltonian systems, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1989.
2. K.R. Meyer. G.R. Hall & D. Offin, Introduction to Hamiltonian dynamical systems nd the N-body problem, Applied Mathematical Sciences 90, Springer, 2009.
3. M. Struwe, Variational methods. Applications to nonlinear partial differential equations and Hamiltonian systems, Springer, 1996.
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i
terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: