Równania różniczkowe cząstkowe 1000-M2RRC

Metoda charakterystyk dla quasi-liniowych równań różniczkowych cząstkowych pierwszego rzędu.

Zagadnienia eliptyczne: równania Laplace'a i Poissona; twierdzenie o wartości średniej i zastosowania; zagadnienia brzegowe i funkcja Greena.

Równanie przewodnictwa cieplnego: rozwiązanie podstawowe; zagadnienie początkowe; własność wartości średniej i zasada maksimum.

Równanie falowe: wzór d'Alemberta; metoda średnich sferycznych; wzór Duhamela dla zagadnień niejednorodnych.

Przykłady metod energetycznych.

Metoda rozwijania w szereg: szeregi Fouriera i metoda rozdzielonych zmiennych; zastosowanie do równania ciepła i falowego; wzór d'Alemberta; równanie membrany i falowe w wyższych wymiarach; równanie membrany w zmiennych biegunowych oraz funkcje i szeregi Bessela.

Ogólne zagadnienia eliptyczne drugiego rzędu: zasada Dirichleta i podstawowy lemat rachunku wariacyjnego; przestrzenie Sobolewa; nierówność Poincarégo; tw. Sobolewa i Rellicha-Kondraszowa; istnienie rozwiązań dla zagadnień eliptycznych - metoda wariacyjna i Laxa-Milgrama; zagadnienie wartości własnych.

Całkowity nakład pracy studenta

30 godz. - wykład. 30 godz. - ćwiczenia. 15 godz. - laboratorium 3 godz. - egzamin. 30 godz. - praca własna - bieżące przygotowanie do zajęć, studiowanie literatury i przykładów. 30 godz. - praca własna - przygotowanie do egzaminu. Razem: 138 godzin.

Efekty uczenia się - wiedza

W1: Zna rodzaje równań różniczkowych cząstkowych. (KW_01 s2, K_W02 s2) W2: Zna twierdzenia o metodzie charakterystyk dla quasi-liniowych równań pierwszego rzędu (K_W03 s2) W3: Zna metodę rozdzielonych zmiennych i szeregów Fouriera do rozwiązywania zagadnień brzegowych (K_W03 s2). W4: Zna wzory na rozwiązania równań Poissona, ciepła i falowego (K_W03 s2). W5: Zna i rozumie pojęcie słabej pochodnej, słabego rozwiązania, przestrzeni Sobolewa; zna sformułowania twierdzeń o włożeniu Sobolewa i o zwartym włożenu Rellicha-Kondraszowa (K_W04 s2) W6: Zna metodą wariacyjną i jej zastosowanie do znajdowania słabych rozwiazań równań eliptycznych (K_W05 s2). W7: Zna metody wyznaczania widma operatorów różniczkowych (K_W05 s2).

Efekty uczenia się - umiejętności

U1: Potrafi wskazać, klasyfikować i wybrać metodę rozwiązania dla różnych rodzajów równań różniczkowych cząstkowych (K_U09 s2). U2: Potrafi rozwiązać równania quasi-liniowe pierwszego rzędu (przy pomocy metody charakterystyk) (K_U04 s2). U3: Potrafi rozwiązywać zagadnienia brzegowe metodą rozdzielonych zmiennych (K_U04, K_U03, K_05 s2). U4: Potrafi znaleźć funkcje Greena półpłaszczyzny i kuli oraz napisać wzór na rozwiązanie zagadnień eliptycznych (K_U04, K_U07 s2). U5: Potrafi wyprowadzić wzór na rozwiązania równań Poissona, ciepła i falowego (K_U04, K_U07 s2). U6: Potrafi zbadać przynależność funkcji do przestrzeni Sobolewa i zbadać zbieżność ciągów w tego rodzaju przestrzeniach; potrafi zastosować twierdzenia Sobolewa i Rellicha-Kondraszowa (K_U10, K_U07 s2). U7: Potrafi wyznaczać widma eliptycznych operatorów różniczkowych (K_U07, K_U10 s2).

Efekty uczenia się - kompetencje społeczne

K1: Przekazuje swoją wiedzę i przemyślenia w sposób zrozumiały (K_K04 s2). K2: Właściwie rozumie sformułowania pytań i problemów, poprawnie posługuje się terminologią fachową (K_K01 s2) K3: Potrafi pracować pod presją czasu i wyniku (K_K06 s2). K4: Potrafi omówić i zaprezentować publicznie zagadnienie i jego rozwiązanie (K_K04 s2).

Metody dydaktyczne

Wykład z użyciem tablicy. Zostaną precyzyjnie wprowadzone używane podczas wykładu pojęcia, wraz z przykładami. Twierdzenia zostaną sformułowane precyzyjnie (ze wszystkimi założeniami). Przedyskutowana będzie kwestia idei dowodów i znaczenia twierdzeń. Podane zostaną pełne dowody prezentowanych twierdzeń. W komentarzach do wyników, podane będą fakty uzupełniające i odnośniki w literaturze. Podczas ćwiczeń rozwiązywane będą konkretne równania różniczkowe cząstkowe.

Metody dydaktyczne eksponujące

- pokaz

Metody dydaktyczne podające

- opowiadanie
- wykład informacyjny (konwencjonalny)

Metody dydaktyczne poszukujące

- ćwiczeniowa
- seminaryjna

Wymagania wstępne

Równania różniczkowe zwyczajne; Analiza matematyczna I i II; Algebra liniowa I.

Koordynatorzy przedmiotu

Aleksander Ćwiszewski

Kryteria oceniania

Egzamin: W1, W2, W3, W4, W5, W6, U1, U2, U3, U4, U5, U6, K1, K2, K3, K4.

Ćwiczenia: W1, W2, W3, W4, W5, U1, U2, U3, U4, U5, U6, K1, K2, K3, K4.

Przewiduje się pisemny egzamin po semestrze.
Możliwa jest część ustna z inicjatywy egzaminatora, w przypadku wątpliwości co do wyników części pisemnej lub możliwości podniesienia oceny.

Ćwiczenia kończą się zaliczeniem na ocenę, która jest wystawiana na podstawie końcowego kolokwium. W skład oceny mogą wchodzić również wyniki dodatkowych sprawdzianów i aktywność studenta.

Laboratorium oceniane jest na podstawie przedstawionych implementacji algorytmów dla symulacji numerycznych.

Praktyki zawodowe

Nie przewiduje się.

Literatura

Literatura podstawowa:

1. L. C. Evans, Równania różniczkowe cząstkowe, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002.

2. P. Strzelecki, Krótkie wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych, Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego 2006.

Literatura uzupełniająca:

1. N. H. Asmar, Partial Differential Equations with Fourier Series and Boundary Value Problems, Pearson Prentice Hall, 2005.

2. D. Gilbarg, N. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer 1983.

3. R. K. Nagle, E. B. Saff, Fundamentals of differential equations and boundary value problems problems, Addison-Wesley Publishing Company 1996.

Więcej informacji

Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb:

Strona przedmiotu 1000-M2RRC w USOSweb