Wstęp do matematyki 1000-M1WDM

1. Elementy logiki matematycznej.

1.1. Klasyczna logika zdaniowa (klz) - zdania w sensie logicznym, prawdziwość i fałszywość, klasyczne spójniki zdaniowe.
1.2. Klasyczny rachunek zdań (krz) jako formalizacja klz - język krz, zmienne zdaniowe, formuły i ich drzewa; wartość logiczna formuły przy wartościowaniu, tautologie (prawa krz), metody dowodzenia tautologii (metoda 0-1 i metoda koniunktywnej postaci normalnej).
1.3. Aksjomatyczne ujęcie krz - reguły dowodzenia, zgodność i zupełność systemu Fregego.
1.4. Rachunek kwantyfikatorów (rachunek predykatów, logika pierwszego rzędu) - funkcje zdaniowe, kwantyfikatory, zmienne wolne i związane; podstawowe prawa rachunku kwantyfikatorów.
1.5. Uwagi o dowodzeniu twierdzeń matematycznych.

2. Podstawy teorii zbiorów (teorii mnogości).

2.1. Algebra zbiorów - podstawowe pojęcia teorii zbiorów, podzbiory i działania na zbiorach; boolowskie kombinacje zbiorów i prawa rachunku zbiorów; zbiory potęgowe, iloczyny kartezjańskie skończonej liczby zbiorów, działania uogólnione na zbiorach.
2.2. Wzmianka o aksjomatycznej teorii zbiorów.

3. Liczby naturalne.

3.1. Aksjomatyka Peano liczb naturalnych.
3.2. Zasada indukcji matematycznej - różne sformułowania zasady indukcji (w tym indukowanie względem miary złożoności lub "po zbiorach"), zasada minimum.
3.3. Przykłady zastosowań zasady indukcji matematycznej.

4. Relacje.

4.1. Ogólne własności relacji - podstawowe typy relacji dwuargumentowych (zwrotna, symetryczna, przechodnia, słabo antysymetryczna, spójna), grafy i macierze relacji o skończonych nośnikach.
4.2. Relacje równoważności - klasy abstrakcji, zbiory ilorazowe, zasada abstrakcji.
4.3. Konstrukcje zbiorów liczbowych - konstrukcje zbiorów Z, Q, R na podstawie zbioru N przy użyciu relacji równoważności.
4.4. Relacje częściowego porządku i zbiory częściowo uporządkowane (posety) - podstawowe pojęcia, diagramy Hassego skończonych posetów, elementy maksymalne, minimalne, największe i najmniejsze w posecie, kresy; zbiory liniowo uporządkowane i dobrze uporządkowane, Lemat Kuratowskiego-Zorna.

5. Funkcje.

5.1. Ogólne własności funkcji - dziedzina, przeciwdziedzina (kodziedzina), wykres, złożenie funkcji.
5.2. Podstawowe własności funkcji - funkcje różnowartościowe (injekcje), funkcje "na" (surjekcje), funkcje odwracalne (bijekcje), funkcja odwrotna do danej odwracalnej; obrazy i przeciwobrazy (zbiorów poprzez funkcje) i ich własności; iloczyn kartezjański dowolnej liczby zbiorów.

6. Elementy teorii równoliczności zbiorów (teorii mocy).

6.1. Równoliczność zbiorów - definicja mocy zbioru i liczby kardynalnej.
6.2. Zbiory przeliczalne i ich przykłady.
6.3. Zbiory nieprzeliczalne i ich przykłady.
6.4. Podstawowe twierdzenia teorii mocy - twierdzenie Cantora i Cantora-Bernsteina oraz zastosowania.

7. Informacje uzupełniające - liczby porządkowe i typy porządkowe, indukcja pozaskończona, pewnik wyboru, hipoteza continuum, twierdzenie Zermelo.