Prowadzony w
cyklach:
2021/22L, 2022/23L, 2023/24L, 2024/25L
Kod ISCED: 0541
Punkty ECTS:
6
Język:
polski
Organizowany przez:
Wydział Matematyki i Informatyki
Arytmetyka i teoria liczb 1000-M1ATL
- Informacje o aksjomatach Peano zbioru liczb naturalnych. Definicja, konstrukcja i własności zbiorów liczb całkowitych i wymiernych.
- Przedmiot i podstawowe działy teorii liczb. Krótkie informacje z historii rozwoju teorii liczb. Systemy pozycyjne zapisu liczb całkowitych.
- Teoria podzielności w pierścieniu liczb całkowitych. Algorytm Euklidesa. Największy wspólny dzielnik. Najmniejsza wspólna wielokrotność. Liczby względnie pierwsze.
- Kongruencje i pierścienie liczb całkowitych modulo m.
- Liczby pierwsze. Dowody istnienia nieskończonej ilości liczb pierwszych. Twierdzenie Dirichleta o liczbach pierwszych w postępach arytmetycznych (informacyjnie) i jego zastosowania. Dowody szczególnych przypadków tego twierdzenia.
- Podstawowe funkcje arytmetyczne. Funkcje multyplikatywne. Splot Dirichleta. Funkcja Eulera - Gaussa.
- Podstawowe twierdzenia teorii liczb. Twierdzenie Eulera. Małe Twierdzenie Fermata. Twierdzenie Wilsona. Twierdzenie Czebyszewa (Postulat Bertranda) - bez dowodu.
- Chińskie twierdzenie o resztach i jego zastosowanie.
- Równania diofantyczne. Kongrurencje stopni pierwszego i drugiego.
- Reszty kwadratowe. Symbole Legendre'a i Jacobiego. Prawo wzajemności reszt kwadratowych.
- Przedstawienie liczb naturalnych w postaci sum liczb kwadratowych. Informacje o problemach Waringa.
- Definicje zbioru liczb rzeczywistych i dowody ich równoważności. Ułamki nieskończone.
- Niewymierność pewnych znanych liczb rzeczywistych.
- Liczby algebraiczne i przestępne. Twierdzenie Liouville'a.
- Klasyczne problemy w teorii liczb.
Całkowity nakład pracy studenta
30 godzin – wykład
30 godzin – ćwiczenia
2 godziny – egzamin
55 godzin – praca własna: przygotowanie do zajęć, rozwiązywanie zadań, studiowanie literatury
35 godzin – praca własna: przygotowanie do egzaminu
Razem 152 godziny (6 punktów ECTS)
Efekty uczenia się - wiedza
Student(ka):
W1: zna definicje, konstrukcje i najważniejsze własności zbiorów liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, rzeczywistych, a także zespolonych;
W2: dobrze rozumie podstawowe fakty i twierdzenia elementarnej teorii liczb oraz wykorzystywanych innych działów matematyki, z uwzględnieniem algebry liniowej, algebry wielomianów, teorii grup i analizy matematycznej;
W3: zdaje sobie sprawę z tego, że istnieją stare i otwarte problemy oraz nierozstrzygnięte hipotezy dotyczące elementarnej teorii liczb;
Efekty uczenia się - umiejętności
Student(ka):
U1: umie przeprowadzać dowody wykorzystujące zasadę minimum, różnego rodzaju indukcje matematyczne oraz formuły rekurencyjne; (K_U03)
U2: potrafi biegle posługiwać się kongruencjami i zna ich podstawowe własności oraz zastosowania;
U3: potrafi dowodzić i sprawdzać zagadnienia dotyczące podzielności liczb i wielomianów; umie wykorzystać twierdzenie chińskie o resztach; zna jego dowody i ma pojęcie o tym, że to twierdzenie występuje w różnych innych działach matematyki;
U4: swobodnie posługuje się pierścieniami skończonymi, w tym pierścieniami liczb całkowitych modulo m;
U5: potrafi przedstawić kilka różnych dowodów nieskończoności zbioru liczb pierwszych oraz nieskończoności specjalnych podzbiorów zbioru liczb całkowitych;
U6: potrafi rozwiązywać podstawowe typy równań diofantycznych, w tym diofantyczne układy równań liniowych oraz różne równania diofantyczne drugiego stopnia;
Efekty uczenia się - kompetencje społeczne
Student(ka):
K1: właściwie rozumie sformułowania pytań i problemów;
K2: przekazuje innym swoją wiedzę i przemyślenia w zrozumiały sposób;
K3: poprawnie posługuje się terminologią fachową;
K4: myśli twórczo w celu udoskonalenia istniejących bądź stworzenia nowych rozwiązań;
Metody dydaktyczne podające
- wykład informacyjny (konwencjonalny)
Metody dydaktyczne poszukujące
- ćwiczeniowa
Wymagania wstępne
Znajomość logiki matematycznej, teorii mnogości,
algebry liniowej i analizy matematycznej oraz podstaw teorii grup i pierścieni.
Koordynatorzy przedmiotu
Kryteria oceniania
Egzamin pisemny – W1, W2, W3.
Kolokwium – U1, U2, U3, U4, U5, U6.
Aktywność – K1, K2, K3, K4.
Literatura
Literatura podstawowa:
- W. Marzantowicz, P. Zarzycki, Elementarna teoria liczb, PWN, Warszawa 2006.
- W. Narkiewicz, Teoria liczb, PWN, Warszawa 2003.
- A. Nowicki, książki serii "Podróże po Imperium Liczb", Olsztyn, Toruń, 2008 - 2013.
- W. Sierpiński, 250 zadań z elementarnej teorii liczb, WSiP, Warszawa 1987.
- W. Sierpiński, Arytmetyka teoretyczna, PWN, Warszawa (wiele wydań).
- W. Sierpiński, Teoria liczb, PWN, Warszawa 1950 (tom 1), 1959 (tom 2).
- W. Sierpiński, Wstęp do teorii liczb, WSiP, Warszawa 1987.
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: