Analiza zespolona 1000-M1ANZ

1. Przypomnienie podstawowych algebraicznych i topologicznych własności zbioru liczb zespolonych. Podstawy geometrii płaszczyzny zespolonej.
2. Ciągi i szeregi liczb zespolonych.
3. Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej. Granica funkcji. Ciągłość i różniczkowalność.
4. Funkcje zespolone. Granica funkcji. Funkcje ciągle i ich podstawowe własności.
5. Ciągi i szeregi funkcyjne.
6. Zbieżność szeregów potęgowych.
7. Funkcje wykładnicze, funkcje trygonometryczne, wzór Eulera.
8. Logarytm i potęga liczby zespolonej.
9. Funkcje różniczkowalne, pochodne i ich podstawowe własności.
równania Cauchy-Riemanna, warunek dostateczny różniczkowalności zawierający równania Cauchy-Riemanna.
10. Funkcja holomorficzna - definicja, przykłady.
11. Interpretacja geometryczna pochodnej.
12. Całka Riemanna funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej.
13. Całka krzywoliniowa funkcji zespolonej, podstawowe własności.
14. Funkcja pierwotna.
15. Twierdzenie całkowe Cauchy'ego i jego uogólnienia.
16.Wzór całkowy Cauchy'ego.
17. Rozwijalność funkcji holomorficznej w szereg potęgowy.
18. Punkty zerowe funkcji holomorficznej.
19. Twierdzenie Morery.
20. Funkcje całkowite. Twierdzenie Liouville'a.
21. Zasada maksimum.
22. Szeregi Laurenta, rozwinięcie funkcji holomorficznej w szereg Laurenta.
23. Punkty osobliwe odosobnione.
24. Residuum funkcji.
25. Twierdzenie o residuach i jego zastosowanie do obliczania całek niewłaściwych funkcji rzeczywistych.

Całkowity nakład pracy studenta

30 godzin - wykład  30 godzin - ćwiczenia 30 godzin - konsultacje z prowadzącym zajęcia  2 godziny - egzamin  30 godzin - praca własna: przygotowanie do zajęć , studiowanie literatury  30 godzin - praca własna: przygotowanie do egzaminu Razem: 152 godz. 6 pkt ECTS

Efekty uczenia się - wiedza

Student W1: definiuje i analizuje podstawowe pojęcia teorii funkcji jednej zmiennej zespolonej (metryka na płaszczyźnie zespolonej, ciągłość, różniczkowalność, holomorficzność funkcji, całka krzywoliniowa, funkcja pierwotna, szereg potęgowy, szereg Laurenta, punkty osobliwe, bieguny i residua funkcji, funkcje elementarne) - K_W03; W2: prezentuje i dowodzi podstawowe twierdzenia analizy zespolonej - K_W03; W3: jest świadomy podobieństw i różnic między analizą rzeczywistą i zespoloną, rozumie ich źródła - K_W03.

Efekty uczenia się - umiejętności

Student: U1: rozumie topologiczną strukturę płaszczyzny zespolonej jako przestrzeni metrycznej - K_U04 U1: sprawnie posługuje się podstawowym aparatem analizy zespolonej - K_U04 U2: potrafi samodzielnie przeprowadzać dowody prostych faktów z zakresu analizy zespolonej - K_U01

Efekty uczenia się - kompetencje społeczne

Student: Student: K1: potrafi przeprowadzać logiczne rozumowania, dostrzega w nich ewentualne luki, dostrzega braki w swojej wiedzy i formułuje właściwe pytania w celu ich uzupełnienia - K_K03 K2: jest nastawiony na jak najlepsze wykonanie zadania; dba o szczegół; jest systematyczny - K_K04 K3: skutecznie przekazuje innym osiągnięcia nauki w zrozumiały sposób; dostosowuje poziom i formę prezentacji do potrzeb i możliwości odbiorcy - K_K02 K4: w pełni samodzielnie realizuje uzgodnione cele, podejmując samodzielne i czasami trudne decyzje; potrafi samodzielnie wyszukiwać informacje w literaturze - K_K03

Metody dydaktyczne

wykład - wykład konwencjonalny: podstawowe informacje, dowody ćwiczenia - klasyczna metoda rozwiązywania zadań i stawiania problemów

Metody dydaktyczne podające

- wykład konwersatoryjny
- wykład informacyjny (konwencjonalny)

Metody dydaktyczne poszukujące

- ćwiczeniowa
- klasyczna metoda problemowa

Wymagania wstępne

materiał zawarty w kursach: Analiza Matematyczna I i Analiza Matematyczna II.

Koordynatorzy przedmiotu

Joanna Kułaga-Przymus

Kryteria oceniania

Przewiduje się egzamin po zakończeniu wykładu. Ćwiczenia kończą się zaliczeniem na ocenę. Ocenę wystawia się na podstawie dwóch kolokwiów oraz zadań domowych. Warunkiem uzyskania zaliczenia ćwiczeń jest zaliczenie każdego z kolokwiów (>50% punktów z każdego z nich) oraz przygotowanie rozwiązań przynajmniej 50% zadań domowych.

Praktyki zawodowe

nie dotyczy

Literatura

1. J. Chądzyński, Wstęp do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 2000.
2. J. Długosz, Funkcje zespolone, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2005.
3. F. Leja, Funkcje zespolone, PWN, Warszawa 1973.
4. E.M.Stein, R.Shakarchi, Complex analysis
5. H.A. Priestley, Complex analysis
6. W. Szabat, Wstęp do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 1974.
7. J. Krzyż, Zbiór zadań z funkcji analitycznych, PWN, Warszawa 1968.

Uwagi

W cyklu 2021/22Z:

Zajęcia w formie stacjonarnej. W przypadku pogorszenia sytuacji epidemicznej przejście na formę zdalnej. (Spotkania na platformie MsTeams lub Big Blue Button, materiały na platformie Moodle).

W cyklu 2022/23Z:

Zajęcia w formie stacjonarnej. W przypadku pogorszenia sytuacji epidemicznej przejście na formę zdalnej. (Spotkania na platformie MsTeams lub Big Blue Button, materiały na platformie Moodle).

Więcej informacji

Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb:

Strona przedmiotu 1000-M1ANZ w USOSweb