Analiza na rozmaitościach 1000-M1ANR

Plan wykładu:

1. Pola wektorowe i formy różniczkowe. Lemat Poincarégo, pola potencjalne i bezwirowe.

2. Całka formy po łańcuchu. Twierdzenie Stokesa dla łańcuchów.

3. Rozmaitość, przestrzeń styczna, odwzorowania gładkie, struktura
różniczkowa. Orientacja rozmaitości.

4. Pola wektorowe i formy różniczkowe na rozmaitościach.

5. Całka z formy różniczkowej po rozmaitości. Całka po krzywej i po powierzchni.

6. Twierdzenie Stokesa dla rozmaitości.

7. Twierdzenia Greena, Gaussa - Ostrogradskiego i wzór Stokesa. Element objętości.

Celem ćwiczeń jest ugruntowanie materiału z wykładu.

Całkowity nakład pracy studenta

Czas pracy wyniesie 180 godzin: - wykład: 45; - ćwiczenia: 45; - praca własna: - bieżące przygotowanie do ćwiczeń: 30; - studiowanie literatury: 40; - przygotowanie do egzaminu: 20.

Efekty uczenia się - wiedza

W1: zna podstawowe pojęcia związane z rozmaitościami (K_W01) W2: zna i rozumie klasyczne twierdzenia i ich dowody z zakresu rachunku różniczkowego i całkowego na rozmaitościach (K_W03) W3: zna przykłady zastosowań omawianych teorii (K_W04)

Efekty uczenia się - umiejętności

U1 potrafi odróżniać rozmaitości od przestrzeni nie będących rozmaitościami oraz potrafi posługiwać się podstawowymi pojęciami związanymi z rozmaitościami (K_U04) U2: potrafi obliczać całki krzywoliniowe i powierzchniowe oraz stosować twierdzenia Greena, Gaussa - Ostrogradskiego (K_U04) U3: potrafi w sposób zrozumiały, w mowie i na piśmie, przedstawiać poprawne rozumowania matematyczne, formułować twierdzenia i definicje z obszaru analizy matematycznej (K_U06) U4: poprawnie stosuje rachunek zdań i kwantyfikatorów oraz elementy teorii mnogości do wyrażenia pojęć i faktów analizy matematycznej (K_U01, K_U02, K_U03)

Efekty uczenia się - kompetencje społeczne

K1: przekazuje innym swoją wiedzę i przemyślenia z zachowaniem uczciwości intelektualnej (K_K01) K2: ma świadomość ograniczoności swojej wiedzy, zdolność krytycznego spojrzenia na rozważane zagadnienie i umiejętność szukania rozwiązań w oparciu o zasady logiki i różne źródła informacji (K_K02, K_K03, K_K04).

Metody dydaktyczne

Wykład prowadzony metodą tradycyjną. Wprowadzane pojęcia i fakty ilustrowane przykładami. Ćwiczenia z bezpośrednim udziałem nauczyciela akademickiego wzbogacone o zestawy zadań do indywidualnego rozwiązania.

Metody dydaktyczne eksponujące

- pokaz

Metody dydaktyczne podające

- wykład informacyjny (konwencjonalny)
- wykład problemowy

Metody dydaktyczne poszukujące

- ćwiczeniowa
- klasyczna metoda problemowa

Wymagania wstępne

Student powinien mieć wiedzę z zakresu przedmiotów Analiza matematyczna I (1000-M1AM1l), Analiza matematyczna II (1000-M1AM2l) oraz Algebra liniowa z geometrią (1000-M1ALGz, 1000-M1ALGl)

Koordynatorzy przedmiotu

W cyklu 2023/24L:

Piotr Stefaniak

W cyklu 2024/25L:

Piotr Stefaniak

W cyklu 2022/23L:

Sławomir Rybicki

Kryteria oceniania

Zaliczenie wykładu: egzamin pisemny i/lub ustny. Studenta obowiązuje materiał prezentowany w trakcie wykładu; weryfikacja efektów: W1, W2, W3, K1, K2

Ćwiczenia kończą się zaliczeniem na ocenę. Ocena będzie wystawiana na podstawie sprawdzianów i/lub referatu; weryfikacja efektów: U1, U2, U3, U4, K1, K2

Literatura

1. M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, W-wa, 1977.

2. L. Górniewicz, R. S. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków, tom 2, Toruń, 1995.

3. V. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer, 1978.

4. L. Godinho , J. Natário, An Introduction to Riemannian Geometry. With Applications to Mechanics and Relativity, Springer, 2014.

Więcej informacji

Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb:

Strona przedmiotu 1000-M1ANR w USOSweb