Analiza na rozmaitościach
1000-M1ANR
Plan wykładu:
1. Pola wektorowe i formy różniczkowe. Lemat Poincarégo, pola potencjalne i bezwirowe.
2. Całka formy po łańcuchu. Twierdzenie Stokesa dla łańcuchów.
3. Rozmaitość, przestrzeń styczna, odwzorowania gładkie, struktura
różniczkowa. Orientacja rozmaitości.
4. Pola wektorowe i formy różniczkowe na rozmaitościach.
5. Całka z formy różniczkowej po rozmaitości. Całka po krzywej i po powierzchni.
6. Twierdzenie Stokesa dla rozmaitości.
7. Twierdzenia Greena, Gaussa - Ostrogradskiego i wzór Stokesa. Element objętości.
Celem ćwiczeń jest ugruntowanie materiału z wykładu.
Całkowity nakład pracy studenta
Czas pracy wyniesie 180 godzin:
- wykład: 45;
- ćwiczenia: 45;
- praca własna:
- bieżące przygotowanie do ćwiczeń: 30;
- studiowanie literatury: 40;
- przygotowanie do egzaminu: 20.
Efekty uczenia się - wiedza
W1: zna podstawowe pojęcia związane z rozmaitościami (K_W01)
W2: zna i rozumie klasyczne twierdzenia i ich dowody z zakresu rachunku różniczkowego i całkowego na rozmaitościach (K_W03)
W3: zna przykłady zastosowań omawianych teorii (K_W04)
Efekty uczenia się - umiejętności
U1 potrafi odróżniać rozmaitości od przestrzeni nie będących rozmaitościami oraz potrafi posługiwać się podstawowymi pojęciami związanymi z rozmaitościami (K_U04)
U2: potrafi obliczać całki krzywoliniowe i powierzchniowe oraz stosować twierdzenia Greena, Gaussa - Ostrogradskiego (K_U04)
U3: potrafi w sposób zrozumiały, w mowie i na piśmie, przedstawiać poprawne rozumowania matematyczne, formułować twierdzenia i definicje z obszaru analizy matematycznej (K_U06)
U4: poprawnie stosuje rachunek zdań i kwantyfikatorów oraz elementy teorii mnogości do wyrażenia pojęć i faktów analizy matematycznej (K_U01, K_U02, K_U03)
Efekty uczenia się - kompetencje społeczne
K1: przekazuje innym swoją wiedzę i przemyślenia z zachowaniem uczciwości intelektualnej (K_K01)
K2: ma świadomość ograniczoności swojej wiedzy, zdolność krytycznego spojrzenia na rozważane zagadnienie i umiejętność szukania rozwiązań w oparciu o zasady logiki i różne źródła informacji (K_K02, K_K03, K_K04).
Metody dydaktyczne
Wykład prowadzony metodą tradycyjną. Wprowadzane pojęcia i fakty ilustrowane przykładami.
Ćwiczenia z bezpośrednim udziałem nauczyciela akademickiego wzbogacone o zestawy zadań do indywidualnego rozwiązania.
Metody dydaktyczne eksponujące
- pokaz
Metody dydaktyczne podające
- wykład informacyjny (konwencjonalny)
- wykład problemowy
Metody dydaktyczne poszukujące
- ćwiczeniowa
- klasyczna metoda problemowa
Wymagania wstępne
Student powinien mieć wiedzę z zakresu przedmiotów Analiza matematyczna I (1000-M1AM1l), Analiza matematyczna II (1000-M1AM2l) oraz Algebra liniowa z geometrią (1000-M1ALGz, 1000-M1ALGl)
Koordynatorzy przedmiotu
W cyklu 2023/24L: | W cyklu 2022/23L: | W cyklu 2021/22L: |
Kryteria oceniania
Zaliczenie wykładu: egzamin pisemny i/lub ustny. Studenta obowiązuje materiał prezentowany w trakcie wykładu; weryfikacja efektów: W1, W2, W3, K1, K2
Ćwiczenia kończą się zaliczeniem na ocenę. Ocena będzie wystawiana na podstawie sprawdzianów i/lub referatu; weryfikacja efektów: U1, U2, U3, U4, K1, K2
Literatura
1. M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, W-wa, 1977.
2. L. Górniewicz, R. S. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków, tom 2, Toruń, 1995.
3. V. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer, 1978.
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i
terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: