Prowadzony w
cyklach:
2021/22L, 2022/23L, 2023/24L, 2024/25L
Kod ISCED: 0541
Punkty ECTS:
brak danych
Język:
polski
Organizowany przez:
Wydział Matematyki i Informatyki
Analiza funkcjonalna 1000-M1ANF
- Przestrzenie liniowo-metryczne. Przestrzenie Fr´echeta i przestrzenie Banacha (ciągowe i funkcyjne przestrzenie Banacha – klasyczne nierówności całkowe). Odwzorowania liniowe i ciągłe.
- Zasada jednostajnej ograniczoności (twierdzenie Banacha–Steinhausa).
- Twierdzenie Hahna–Banacha i twierdzenia o oddzielaniu.
- Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym i o domkniętym wykresie.
- Podstawowe wiadomości o słabych topologiach.
- Twierdzenie Banacha–Alaoglu.
- Punkty ekstremalne i twierdzenie Kreina–Milmana.
- Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Banacha. Refleksywność.
- Przestrzenie Hilberta. Nierówność Schwarza. Ortogonalność, bazy hilbertowskie. Wstęp do teorii szeregów Fouriera. Zupełność układu trygonometrycznego. Jądra sumujące. Współczynniki Fouriera funkcji gładkich.
Całkowity nakład pracy studenta
Godziny wymagające kontaktu z nauczycielem:
30 godz. - wykład
30 godz. -ćwiczenia
4 godz. - egzamin
Praca własna:
25 godz. - bieżące przygotowanie do ćwiczeń
15 godz. - przygotowanie do zaliczenia ćwiczeń
35 godz.- studiowanie literatury
30 godz. przygotowanie do egzaminu
Razem: 169 godz. - 6 ECTS
Efekty uczenia się - wiedza
Po ukończeniu kursu student:
- Operuje podstawowymi przestrzeniami analizy funkcjonalnej: Banacha, Hilberta, Frecheta, linowo-topologiczne, lokalnie wypukle; zna podstawowe przykłady takich przestrzeni;
- Operuje pojęciem przestrzeni sprzężonej (rozumie znaczenie obiektów dualnych, w szczególności operuje pojęciem refleksywności);
- Rozumie i umie stosować klasyczne twierdzenia analizy funkcjonalnej: tw. o odwzorowaniu otwartym, domkniętym wykresie, o odwzorowaniu otwartym, zasadę jednostajnej ograniczoności, twierdzenie Banacha-Alaoglu, twierdzenie Kreina-Milmana;
- Rozumie pojęcia słabych topologiii w przestrzeniach Banacha i umie je wykorzystać;
- Rozumie pojęcie układu ortonormalnego zupełnego w przestrzeni Hilberta i pojecie szeregu Fouriera;
- W klasycznej sytuacji szeregów Fouriera funkcji okresowych rozumie związki pomiędzy regularnością (gładkością) funkcji i prędkością malenia do zera transformaty Fouriera;
- Potrafi rozwijać w szereg Fouriera funkcje okresowe i całkowalne.
Efekty uczenia się - umiejętności
Student:
- rozumie podstawową strukturę przestrzeni Banacha i Hilberta
- swobodnie posluguje sie podstawowymi narzędziami analizy funkcjonalnej
- potrafi samodzielnie dowodzić prostych faktów z zakresu analizy funkcjonalnej i harmonicznej.
Efekty uczenia się - kompetencje społeczne
Student:
K1: potrafi przeprowadzić logiczne rozumowanie, wykryć luki w rozumowaniu, rozumie swoje braki w wiedzy, potrafi zadawać właściwe pytania prowadzące do wzrostu w wiedzy i rozumienia,
K2: jest systematyczny i dokładny,
K3: komunikuje się wydajnie za pomoc różnych narzędzi
Metody dydaktyczne
wykład - podstawowe informacje, dowody
ćwiczenia - klasyczna metoda rozwiązywania zadań i stawiania problemów
Rodzaj przedmiotu
przedmiot obligatoryjny
Wymagania wstępne
analiza I II, wtępne wiadomości z topologii i teorii miary, algebra liniowa
Koordynatorzy przedmiotu
W cyklu 2023/24L: | W cyklu 2022/23L: | W cyklu 2021/22L: |
Kryteria oceniania
ćwiczenia: na podstawie kolokwiów zaliczeniowych
wykład: egzamin pisemny (testowy) - pierwszy dzień,+ egzamin pisemny - drugi dzień
Literatura
Literatura podstawowa:
- A. Alexiewicz, Analiza funkcjonalna,
- W. Mlak, Wstęp do teorii przestrzeni Hilberta,
- J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej.
Literatura uzupełniająca:
- N. Dunford, D. Schwartz, Liniejnyje operatory,
- L.W. Kantorowicz, Funkcjonalnyj analiz,
- S. Rolewicz, Analiza funkcjonalna i teoria sterowania,
- W. Rudin, Funkcjonalnyj analiz.
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: