Analiza matematyczna II 1000-M1AM2z

(Wspólny opis dla kursów: 1000-M1AM1z, 1000-M1AM1l, 1000-M1AM2z, 1000-M1AM2l)

1. Pojęcia wstępne:

* Podstawowe oznaczenia logiki matematycznej i elementarnej teorii zbiorów;

* Pojęcie funkcji, funkcje różnowartościowe, ,,na'' i odwracalne, operacje algebraiczne na funkcjach rzeczywistych, miejsca zerowe, parzystość, okresowość.

2. Liczby rzeczywiste:

* Uwagi historyczne i podejście ,,naturalne'';

* Definicja aksjomatyczna i uwagi o konstrukcji Dedekinda i Cantora;

* Konsekwencje aksjomatów algebraicznych i porządkowych, wartość bezwzględna;

* Konsekwencje aksjomatu ciągłości, kresy zbioru, zasada Archimedesa; równoliczność, przeliczalność i nieprzeliczalność zbiorów;

* Podzbiory liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych; zasada indukcji matematycznej;

* Podstawowe nierówności.

3. Funkcje elementarne:

* Ogólne własności funkcji rzeczywistych (monotoniczność, okresowość, parzystość, ograniczoność);

* Wielomiany i funkcje wymierne;

* Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne;

* Konstrukcja potęgi o wykładniku rzeczywistym, funkcja wykładnicza i logarytmiczna.

4. Ciągi liczbowe:

* Podciągi, prawie wszystkie i nieskończenie wiele wyrazów ciągu;

* Ciągi ograniczone, granica ciągu, zbieżność, własności ciągów zbieżnych, granice niewłaściwe, twierdzenie Stolza;

* Ciągi monotoniczne, liczba e;

* Ciągi Cauchy'ego, zasada zupełności Cauchy'ego, twierdzenie Bolzano-Weierstrassa;

* Punkty skupienia, granice dolna i górna ciągu.

5. Granica i ciągłość funkcji:

* Punkty skupienia zbioru;

* Definicje Heinego i Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie, warunki konieczne i dostateczne istnienia granicy;

* Własności granic;

* Granice niewłaściwe i granice w nieskończoności;

* Ciągłość i jednostajna ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych określonych na przedziałach, warunek Lipschitza, punkty nieciągłości;

* Twierdzenia o własności Darboux, Weierstrassa i Cantora;

* Ciągłość funkcji elementarnych;

* Granica górna i granica dolna funkcji, półciągłość funkcji.

6. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej:

* Pojęcie pochodnej, warunki równoważne i interpretacja graficzna i mechaniczna;

* Własności funkcji różniczkowalnych;

* Własności pochodnej: suma, iloczyn, iloraz, złożenie, funkcja odwrotna;

* Pochodne funkcji elementarnych;

* Różniczka funkcji i jej związek z pochodną;

* Twierdzenia o wartości średniej: Rolle'a, Lagrange'a, Cauchy'ego; twierdzenie Fermata;

* Reguła de L'Hospitala;

* Pochodne wyższych rzędów, twierdzenie Taylora i jego zastosowania;

* Ekstrema funkcji;

* monotoniczność, wypukłość i asymptoty; badanie przebiegu zmienności funkcji.

7. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej:

* Całka Riemanna, kryteria całkowalności; sumy Riemanna;

* Klasy funkcji całkowalnych;

* Własności całki, twierdzenia o wartości średniej;

* Funkcja górnej granicy całkowania, funkcja pierwotna, twierdzenie Leibniza-Newtona (podstawowe twierdzenie rachunku całkowego);

* Całkowanie przez podstawienie i przez części, całkowanie funkcji wymiernych, podstawienia Eulera;

* Wzmianka o metodach przybliżonych w rachunku całkowym;

* Postać całkowa reszty we wzorze Taylora;

* Zastosowania geometryczne i fizyczne całki oznaczonej;

* Całki niewłaściwe I i II rodzaju, kryteria zbieżności;

8. Szeregi liczbowe:

* Zbieżność szeregu, warunek konieczny zbieżności;

* Własności szeregów liczbowych;

* Kryteria zbieżności dla szeregów o wyrazach nieujemnych i dowolnych;

* Zbieżność bezwzględna i warunkowa;

* Iloczyn Cauchy'ego szeregów, twierdzenie Cauchy'ego, Mertensa i Abela;

* Twierdzenie Cauchy'ego-Maclaurina;

9. Ciągi i szeregi funkcyjne, szeregi potęgowe:

* Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów i szeregów funkcyjnych, kryteria zbieżności jednostajnej;

* Własności granic ciągów zbieżnych jednostajnie;

* Różniczkowanie i całkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych;

* Szeregi potęgowe, promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego, twierdzenie Hadamarda;

* Rozwijanie funkcji w szereg Taylora;

* Funkcje trygonometryczne i wykładnicze.

10. Przestrzenie metryczne:

* Przykłady przestrzeni metrycznych i własności metryki, przestrzeń R^n jako przestrzeń metryczna, elementarne przestrzenie funkcyjne;

* Zbiory otwarte i domknięte, wnętrze i domknięcie zbioru;

* Ciągi zbieżne w przestrzeniach metrycznych;

* Zbiory otwarte i domknięte, charakteryzacja ciągowa zbiorów domkniętych i domknięcia zbioru;

* Ciągłość i jednostajna ciągłość odwzorowań przestrzeni metrycznych;

* Przestrzenie zupełne, zasada Banacha;

* Zbiory zwarte i spójne, charakteryzacja ciągowa i pokryciowa;

* Przestrzenie unormowane i Banacha;

11. Granice i ciągłość funkcji wielu zmiennych, granice wielokrotne iterowane.

12. Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych i wektorowych wielu zmiennych:

* Język algebraiczny: macierze i ich własności;

* Pochodna kierunkowa, cząstkowa i ich własności;

* Pojęcie pochodnej, macierz Jacobiego, gradient funkcji rzeczywistej i ich interpretacja geometryczna;

* Własności pochodnej: suma, iloczyn, złożenie, reguła łańcucha;

* Warunki konieczne i dostateczne różniczkowalności;

* Twierdzenia o wartości średniej i o przyrostach;

* Pochodne wyższych rzędów, twierdzenie Schwarza;

* Macierz Hessa i hessian;

* Twierdzenie Taylora;

* Ekstrema lokalne;

* Twierdzenie o funkcji uwikłanej i o lokalnym odwracaniu odwzorowań;

* Odwzorowania regularne, dyfeomorfizmy;

* Hiperpowierzchnie, przestrzeń styczna;

* Ekstrema związane, twierdzenie o mnożnikach Lagrange'a.

13. Całka funkcji wielu zmiennych:

* Przestrzenie mierzalne, konstrukcje i przykłady, zbiory borelowskie;

* Funkcje i odwzorowania mierzalne, funkcje proste;

* Pojecie miary i jej własności;

* Całka funkcji mierzalnej, twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki (twiedzenia Beppo-Leviego, Lebesgue'a i lemat Fatou);

* Miara zęwnętrznia i konstrukcja miary;

* Miara Lebesgue'a, zbiory miary zero;

* Całka Lebesgue'a i jej związek z całką Riemanna;

* Zasada Cavaleriego, twierdzenia Tonellego i Fubiniego;

* Zamiana zmiennych w całce; współrzędne biegunowe, sferyczne i walcowe;

* Zastosowania całki podwójnej i potrójnej;