Prowadzony w cyklach: 2021/22Z, 2022/23Z, 2023/24Z, 2024/25Z

Kod Erasmus: 11.1

Kod ISCED: 0541

Punkty ECTS: 4

Język: polski

Organizowany przez: Wydział Matematyki i Informatyki

Analiza matematyczna II 1000-M1AM2nz

(Wspólny opis dla kursów: 1000-M1AM1nz, 1000-M1AM1nl, 1000-M1AM2nz, 1000-M1AM2nl, 1000-M1AM3n)

[opis poszczególnych kursów znajduje się w Informacjach o zajęciach w danym cyklu dydaktycznym]

1. Pojęcia wstępne
* Podstawowe oznaczenia z logiki i rachunku zbiorów
* Pojęcie funkcji, funkcje różnowartościowe, ,,na'' i odwracalne
2. Liczby rzeczywiste
* Uwagi historyczne i podejście ,,naturalne''
* Definicja aksjomatyczna i uwagi o konstrukcji Dedekinda i Cantora
* Wnioski z aksjomatów ciała uporządkowanego, wartość bezwzględna
* Podzbiory liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych; Zasada Indukcji Matematycznej
* Wnioski z aksjomatu kresu górnego
3. Funkcje elementarne
* Ogólne własności funkcji rzeczywistych (monotoniczność, okresowość, parzystość, ograniczoność)
* Wielomiany i funkcje wymierne
* Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne
* Konstrukcja potęgi o wykładniku rzeczywistym, funkcja wykładnicza i logarytmiczna
4. Ciągi liczbowe
* Prawie wszystkie i nieskończenie wiele wyrazów ciągu
* Granica ciągu, własności ciągów zbieżnych
* Ciągi monotoniczne, liczba e
* Zasada zupełności Cauchy'ego, twierdzenie Bolzano-Weierstrassa
* Punkty skupienia, granice dolna i górna ciągu
5. Granica i ciągłość funkcji
* Definicje Heinego i Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie
* Własności granic
* Granice niewłaściwe i granice w nieskończoności
* Ciągłość funkcji elementarnych
* Jednostajna ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych określonych na przedziałach
6. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
* Definicja pochodnej, warunki równoważne i interpretacja graficzna
* Własności pochodnej: suma, iloczyn, iloraz, złożenie, funkcja odwrotna
* Pochodne funkcji elementarnych
* Różniczka funkcji i jej związek z pochodną
* Twierdzenia o wartości średniej: Rolle'a, Lagrange'a, Cauchy'ego
* Reguła de L'Hospitala
* Pochodne wyższych rzędów, twierdzenie Taylora i jego zastosowania
* monotoniczność, wypukłość i asymptoty; badanie przebiegu zmienności funkcji
7. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej
* Funkcja pierwotna
* Całkowanie przez podstawienie i przez części, całkowanie funkcji wymiernych, podstawienia Eulera
* Konstrukcja całki Riemanna poprzez sumy górne i dolne, sumy Riemanna, interpretacja geometryczna, funkcje całkowalne
* Twierdzenia o wartości średniej
* Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego
* Zastosowania geometryczne i fizyczne całki oznaczonej
* Całki niewłaściwe
8. Szeregi liczbowe
* Zbieżność szeregu, warunek konieczny zbieżności
* Kryteria zbieżności dla szeregów o wyrazach nieujemnych i dowolnych
9. Ciągi i szeregi funkcyjne, szeregi potęgowe
* Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów i szeregów funkcyjnych, kryteria zbieżności jednostajnej
* Różniczkowanie i całkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych
* Promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego
* Rozwijanie funkcji w szereg Taylora
* Szeregi trygonometryczne, rozwijanie funkcji w szereg Fouriera
10. Przestrzenie metryczne
* Przykłady przestrzeni metrycznych i własności metryki, przestrzeń R^n jako przestrzeń metryczna
* Ciągi zbieżne w przestrzeniach metrycznych
* Zbiory otwarte i domknięte, charakteryzacja ciągowa zbiorów domkniętych
* Ciągłość odwzorowań przestrzeni metrycznych
* Przestrzenie zupełne, Zasada Banacha
* Zbiory zwarte i spójne
11. Granice i ciągłość funkcji wielu zmiennych
12. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
* Pochodna kierunkowa, cząstkowa, gradient funkcji i ich interpretacje geometryczne
* Pochodna odwzorowania, macierz Jacobiego
* Własności pochodnej: suma, iloczyn, złożenie, reguła łańcucha
* Pochodne wyższych rzędów
* Twierdzenie Taylora
* Ekstrema lokalne
* Twierdzenie o funkcji uwikłanej i o lokalnym odwracaniu odwzorowań
* Ekstrema związane (warunkowe), hiperpowierzchnie, przestrzeń styczna
13. Elementy analizy zespolonej
* Funkcje elementarne zmiennej zespolonej
* Pochodna funkcji zmiennej zespolonej
* Funkcje holomorficzne i ich własności
14. Całka funkcji wielu zmiennych
* Przestrzenie i funkcje mierzalne
* Miara Lebesgue'a, zbiory miary zero
* Całka Lebesgue'a i jej związek z całką Riemanna
* Twierdzenie Fubiniego
* Zamiana zmiennych w całce; współrzędne biegunowe, sferyczne i walcowe
* Zastosowania całki podwójnej i potrójnej
15. Elementy równań różniczkowych zwyczajnych
* Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań
* Podstawowe typy równań różniczkowych skalarnych, metoda rozdzielonych zmiennych
* Układy równań różniczkowych liniowych
* Stabilność punktów równowagi
16. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe
* Całka krzywoliniowa i jej interpretacja fizyczna
* Twierdzenie Greena
* Niezależność całki od drogi całkowania
* Całka powierzchniowa i twierdzenie Gaussa

W cyklu 2022/23Z:

Przewiduje się zrealizowanie w III semestrze następujacych zagadnień:

9. Ciągi i szeregi funkcyjne, szeregi potęgowe
* Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów i szeregów funkcyjnych, kryteria zbieżności jednostajnej
* Różniczkowanie i całkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych
* Promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego
* Rozwijanie funkcji w szereg Taylora
* Szeregi trygonometryczne, rozwijanie funkcji w szereg Fouriera
10. Przestrzenie metryczne
* Przykłady przestrzeni metrycznych i własności metryki, przestrzeń R^n jako przestrzeń metryczna
* Ciągi zbieżne w przestrzeniach metrycznych
* Zbiory otwarte i domknięte, charakteryzacja ciągowa zbiorów domkniętych
* Ciągłość odwzorowań przestrzeni metrycznych
* Przestrzenie zupełne, Zasada Banacha
* Zbiory zwarte i spójne

W cyklu 2023/24Z:

Przewiduje się zrealizowanie w III semestrze następujacych zagadnień:

W cyklu 2024/25Z:

Przewiduje się zrealizowanie w III semestrze następujacych zagadnień:

Całkowity nakład pracy studenta

30 godz. – wykład 30 godz. - ćwiczenia: 50 godz. - praca własna - bieżące przygotowanie do zajęć, studiowanie literatury, RAZEM: 110 godz. 4 pkt. ECTS

Efekty uczenia się - wiedza

Efekty uczenia się - umiejętności

(Wspólne dla kursów: 1000-M1AM1nz, 1000-M1AM1nl, 1000-M1AM2nz, 1000-M1AM2nl, 1000-M1AM3n) [Efekty dla poszczególnych kursów znajdują się w opisach bieżących cykli dydaktycznych] Po ukończeniu łącznie kursów 1000-M1AM1nz, 1000-M1AM1nl, 1000-M1AM2nz, 1000-M1AM2nl, 1000-M1AM3n student: U1: analizuje takie własności jak zbieżność ciągu, szeregu (liczbowego i funkcyjnego), ciagłość, monotoniczność i wypukłość/wklęsłość funkcji, różniczkowalność funkcji i odwzorowań, całkowalność funkcji, dostosowując do sytuacji poznane kryteria i metody (K_U07, K_U08, K_U10, K_U11, K_U12) (kody odnoszą się do efektów dla studiów 1 stopnia na kierunku matematyka); U2: wyznacza kresy zbiorów, granice ciągów i funkcji, sumy szeregów, pochodne funkcji i odwzorowań, całki nieoznaczone i oznaczone oraz rozwiązania podstawowych równań różniczkowych zwyczajnych (K_U06, K_U07, K_U08, K_U10, K_U11, K_U12, K_U19); U3: wyznacza ekstrema i ekstrema związane funkcji, asymptoty funkcji, styczne do wykresów funkcji różniczkowalnych, rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy lub trygonometryczny, przeprowadza analizę przebiegu zmienności funkcji elementarnych i rysuje ich wykresy (K_U10); U4: stosuje przedstawione pojęcia i twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego do znajdowania najmniejszych i największych wartości funkcji, pól figur i objętości brył, długości krzywych oraz przybliżonych wartości pierwiastków równań (K_U10, K_U11, K_U12); U5: stosuje podstawowe pojęcia topologii metrycznej przestrzeni euklidesowych do opisu własności odwzorowań podzbiorów tych przestrzeni (K_U08); U6: potrafi w sposób zrozumiały, w mowie i na piśmie, przedstawiać poprawne rozumowania matematyczne, formułować twierdzenia i definicje z obszaru analizy matematycznej (K_U01, K_U02); U7: poprawnie stosuje rachunek zdań i kwantyfikatorów oraz elementy teorii mnogości do wyrażenia pojęć i faktów analizy matematycznej (K_U01, K_U02, K_U04).

Efekty uczenia się - kompetencje społeczne

Metody dydaktyczne

Wykład prowadzony metodą tradycyjną. Wprowadzane pojęcia i fakty ilustrowane przykładami. Ćwiczenia z bezpośrednim udziałem nauczyciela akademickiego wzbogacone o zestawy zadań do indywidualnego rozwiązania.

Metody dydaktyczne eksponujące

- pokaz

Metody dydaktyczne podające

- wykład problemowy
- wykład informacyjny (konwencjonalny)

Metody dydaktyczne poszukujące

- klasyczna metoda problemowa
- ćwiczeniowa

Rodzaj przedmiotu

przedmiot obligatoryjny

Wymagania wstępne

1. Zaliczenie wcześniejszych etapów analizy matematycznej. 2. Wyjątkiem od wymagania opisanego w punkcie 1. jest wpis warunkowy na II rok, przy niezaliczonym przedmiocie Analiza matematyczna I, dający nadzieję na uzupełnienie braków z I roku w bieżącym roku akademickim.

Koordynatorzy przedmiotu

Dorota Gabor

Kryteria oceniania

Ćwiczenia kończą się zaliczeniem na ocenę. Ocenę wystawia się na postawie śródsemestralnych kolokwiów oraz ewentualnie indywidualnych prac domowych.

Kolokwia weryfikują osiągnięcie następujących efektów uczenia się:

U1 - U7, K1, K2 (w zakresie materiału semestru III).

Literatura

Literatura podstawowa

1. W. Kryszewski, Wykłady z analizy matematycznej; funkcje jednej zmiennej. Wydawnictwo UMK, Toruń 2009
2. W. Kryszewski, Wykłady z analizy matematycznej; funkcje wielu zmiennych (skrypt dostępny przez internet)
3. K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa (wiele wydań).
4. F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa (wiele wydań).
5. L. Górniewicz, R. S. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków, tom I, II, Wydawnictwo UMK, Toruń 1995.
6. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I–III, PWN, Warszawa (wiele wydań).
7. W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 1979.

Literatura uzupełniająca (zbiory zadań)

1. W. Krysicki i L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t. I i II, PWN,
Warszawa (wiele wydań).
2. J. Banaś i S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa (wiele wydań).
3. W. Kaczor, Zadania z analizy matematycznej, cz. 1 i 2, PWN, Warszawa 2005.
4. M. Gewert i Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1 oraz Analiza matematyczna 2, Deﬁnicje, twierdzenia, wzory oraz Przykłady i zadania, Matematyka dla Studentów Politechnik, Oﬁcyna Wydawnicza GiS, wydania z ostatnich lat.
5. G. N. Berman, Zbiór zadań z analizy matematycznej,Wyd. Pracowni Komp. Jacka Skalmierskiego, Gliwice 1999.
6. K. Niedziałomski, R. Kowalczyk, C. Obczyński, Granice i pochodne. Metody rozwiązywania zadań, PWN, Warszawa 2013.
7. T. Radożycki, Rozwiązujemy zadania z analizy matematycznej, cz. I, Wydawnictwo Oświatowe FOSZE, Rzeszów 2010.
8. T. Radożycki, Rozwiązujemy zadania z analizy matematycznej, cz. I, Wydawnictwo Oświatowe FOSZE, Rzeszów 2013.

W cyklu 2022/23Z:

Jak w ogólnych informacjach o przedmiocie.

W cyklu 2023/24Z:

Jak w ogólnych informacjach o przedmiocie.

W cyklu 2024/25Z:

Jak w ogólnych informacjach o przedmiocie.

Uwagi

W cyklu 2021/22Z:

Forma zajęć będzie zależna od aktualnych zarządzeń władz Uniwersytetu:
- Wykład stacjonarny lub zdalny (asynchroniczny -notatki oraz filmy z komentarzem do notatek dostępne będą na stronie przdmiotu na platformie moodle)
- Ćwiczenia prowadzone będą stacjonarnie lub zdalnie synchronicznie. Podstawa zaliczenia ćwiczeń bez zmian.

Egzamin w formie zależnej od aktualnych zaleceń sanitarnych: stacjonarny pisemny i ustny, tak jak w poprzednich latach, stacjonarny tylko pisemny rozszerzony o część odpowiadającą egzaminowi ustnemu lub ustny prowadzony on-line.

W cyklu 2022/23Z:

W cyklu 2023/24Z:

Egzamin z całego roku odbywa się w sesji letniej. Informacje w opisie przedmiotu 1000-M1AM2nl

W cyklu 2024/25Z:

Egzamin z całego roku odbywa się w sesji letniej. Informacje w opisie przedmiotu 1000-M1AM2nl

Więcej informacji

Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb:

Strona przedmiotu 1000-M1AM2nz w USOSweb