Prowadzony w cyklach: 2024/25L, 2025/26L, 2026/27L

Kod Erasmus: 11.1

Kod ISCED: 0541

Punkty ECTS: 10

Język: polski

Organizowany przez: Wydział Matematyki i Informatyki

Analiza matematyczna I 1000-M1AM1nl

(Wspólny opis dla kursów: 1000-M1AM1nz, 1000-M1AM1nl, 1000-M1AM2nz, 1000-M1AM2nl, 1000-M1AM3n)

[opis poszczególnych kursów znajduje się w Informacjach o zajęciach w danym cyklu dydaktycznym]

1. Pojęcia wstępne
* Podstawowe oznaczenia z logiki i rachunku zbiorów
* Pojęcie funkcji, funkcje różnowartościowe, ,,na'' i odwracalne
2. Liczby rzeczywiste
* Uwagi historyczne i podejście ,,naturalne''
* Definicja aksjomatyczna i uwagi o konstrukcji Dedekinda i Cantora
* Wnioski z aksjomatów ciała uporządkowanego, wartość bezwzględna
* Podzbiory liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych; Zasada Indukcji Matematycznej
* Wnioski z aksjomatu kresu górnego
3. Funkcje elementarne
* Ogólne własności funkcji rzeczywistych (monotoniczność, okresowość, parzystość, ograniczoność)
* Wielomiany i funkcje wymierne
* Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne
* Konstrukcja potęgi o wykładniku rzeczywistym, funkcja wykładnicza i logarytmiczna
4. Ciągi liczbowe
* Prawie wszystkie i nieskończenie wiele wyrazów ciągu
* Granica ciągu, własności ciągów zbieżnych
* Ciągi monotoniczne, liczba e
* Zasada zupełności Cauchy'ego, twierdzenie Bolzano-Weierstrassa
* Punkty skupienia, granice dolna i górna ciągu
5. Granica i ciągłość funkcji
* Definicje Heinego i Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie
* Własności granic
* Granice niewłaściwe i granice w nieskończoności
* Ciągłość funkcji elementarnych
* Jednostajna ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych określonych na przedziałach
6. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
* Definicja pochodnej, warunki równoważne i interpretacja graficzna
* Własności pochodnej: suma, iloczyn, iloraz, złożenie, funkcja odwrotna
* Pochodne funkcji elementarnych
* Różniczka funkcji i jej związek z pochodną
* Twierdzenia o wartości średniej: Rolle'a, Lagrange'a, Cauchy'ego
* Reguła de L'Hospitala
* Pochodne wyższych rzędów, twierdzenie Taylora i jego zastosowania
* monotoniczność, wypukłość i asymptoty; badanie przebiegu zmienności funkcji
7. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej
* Funkcja pierwotna
* Całkowanie przez podstawienie i przez części, całkowanie funkcji wymiernych, podstawienia Eulera
* Konstrukcja całki Riemanna poprzez sumy górne i dolne, sumy Riemanna, interpretacja geometryczna, funkcje całkowalne
* Twierdzenia o wartości średniej
* Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego
* Zastosowania geometryczne i fizyczne całki oznaczonej
* Całki niewłaściwe
8. Szeregi liczbowe
* Zbieżność szeregu, warunek konieczny zbieżności
* Kryteria zbieżności dla szeregów o wyrazach nieujemnych i dowolnych
9. Ciągi i szeregi funkcyjne, szeregi potęgowe
* Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów i szeregów funkcyjnych, kryteria zbieżności jednostajnej
* Różniczkowanie i całkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych
* Promień i obszar zbieżności szeregu potęgowego
* Rozwijanie funkcji w szereg Taylora
* Szeregi trygonometryczne, rozwijanie funkcji w szereg Fouriera
10. Przestrzenie metryczne
* Przykłady przestrzeni metrycznych i własności metryki, przestrzeń R^n jako przestrzeń metryczna
* Ciągi zbieżne w przestrzeniach metrycznych
* Zbiory otwarte i domknięte, charakteryzacja ciągowa zbiorów domkniętych
* Ciągłość odwzorowań przestrzeni metrycznych
* Przestrzenie zupełne, Zasada Banacha
* Zbiory zwarte i spójne
11. Granice i ciągłość funkcji wielu zmiennych
12. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
* Pochodna kierunkowa, cząstkowa, gradient funkcji i ich interpretacje geometryczne
* Pochodna odwzorowania, macierz Jacobiego
* Własności pochodnej: suma, iloczyn, złożenie, reguła łańcucha
* Pochodne wyższych rzędów
* Twierdzenie Taylora
* Ekstrema lokalne
* Twierdzenie o funkcji uwikłanej i o lokalnym odwracaniu odwzorowań
* Ekstrema związane (warunkowe), hiperpowierzchnie, przestrzeń styczna
13. Elementy analizy zespolonej
* Funkcje elementarne zmiennej zespolonej
* Pochodna funkcji zmiennej zespolonej
* Funkcje holomorficzne i ich własności
14. Całka funkcji wielu zmiennych
* Przestrzenie i funkcje mierzalne
* Miara Lebesgue'a, zbiory miary zero
* Całka Lebesgue'a i jej związek z całką Riemanna
* Twierdzenie Fubiniego
* Zamiana zmiennych w całce; współrzędne biegunowe, sferyczne i walcowe
* Zastosowania całki podwójnej i potrójnej
15. Elementy równań różniczkowych zwyczajnych
* Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań
* Podstawowe typy równań różniczkowych skalarnych, metoda rozdzielonych zmiennych
* Układy równań różniczkowych liniowych
* Stabilność punktów równowagi
16. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe
* Całka krzywoliniowa i jej interpretacja fizyczna
* Twierdzenie Greena
* Niezależność całki od drogi całkowania
* Całka powierzchniowa i twierdzenie Gaussa

W cyklu 2024/25L:

Przewiduje się zrealizowanie w II semestrze następujacych zagadnień:
5. Granica i ciągłość funkcji
* Ciągłość i jednostajna ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych określonych na przedziałach
6. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
* Definicja pochodnej, warunki równoważne i interpretacja graficzna
* Własności pochodnej: suma, iloczyn, iloraz, złożenie, funkcja odwrotna
* Pochodne funkcji elementarnych
* Różniczka funkcji i jej związek z pochodną
* Twierdzenia o wartości średniej: Rolle'a, Lagrange'a, Cauchy'ego
* Reguła de L'Hospitala
* Pochodne wyższych rzędów, twierdzenie Taylora i jego zastosowania
* monotoniczność, wypukłość i asymptoty; badanie przebiegu zmienności funkcji
7. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej
* Funkcja pierwotna
* Całkowanie przez podstawienie i przez części, całkowanie funkcji wymiernych, podstawienia Eulera
* Konstrukcja całki Riemanna poprzez sumy górne i dolne, sumy Riemanna, interpretacja geometryczna, funkcje całkowalne
* Twierdzenia o wartości średniej
* Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego
* Zastosowania geometryczne i fizyczne całki oznaczonej
* Całki niewłaściwe
8. Szeregi liczbowe
* Zbieżność szeregu, warunek konieczny zbieżności
* Kryteria zbieżności dla szeregów o wyrazach nieujemnych i dowolnych

W cyklu 2025/26L:

W cyklu 2026/27L:

Całkowity nakład pracy studenta

60 godz. – wykład 4 godz. - egzamin 60 godz. - ćwiczenia: 80 godz. - praca własna - bieżące przygotowanie do zajęć, studiowanie literatury, 46 godz. praca własna - przygotowanie do egzaminu. RAZEM: 250 godz. 10 pkt. ECTS

Efekty uczenia się - wiedza

(Wspólne dla kursów: 1000-M1AM1nz, 1000-M1AM1nl, 1000-M1AM2nz, 1000-M1AM2nl, 1000-M1AM3n) [Efekty dla poszczególnych kursów znajdują się w opisach bieżących cykli dydaktycznych] W1: definiuje podstawowe pojęcia analizy matematycznej, w tym m.in. takie pojęcia graniczne jak kresy zbiorów, granice ciągów i funkcji, pochodne funkcji i odwzorowań przestrzeni euklidesowych oraz całki Riemanna i Lebesgue'a (K_W04) (kody odnoszą się do efektów dla studiów 1 stopnia na kierunku matematyka). W2: klasyfikuje funkcje elementarne oraz przedstawia ich definicje i podstawowe własności (K_W04); W3: wylicza i formułuje podstawowe twierdzenia analizy matematycznej, ilustruje je przykładami i przestawia ich uzasadnienia (K_W02, K_W04);

Efekty uczenia się - umiejętności

(Wspólne dla kursów: 1000-M1AM1nz, 1000-M1AM1nl, 1000-M1AM2nz, 1000-M1AM2nl, 1000-M1AM3n) [Efekty dla poszczególnych kursów znajdują się w opisach bieżących cykli dydaktycznych] Po ukończeniu łącznie kursów 1000-M1AM1nz, 1000-M1AM1nl, 1000-M1AM2nz, 1000-M1AM2nl, 1000-M1AM3n student: U1: analizuje takie własności jak zbieżność ciągu, szeregu (liczbowego i funkcyjnego), ciagłość, monotoniczność i wypukłość/wklęsłość funkcji, różniczkowalność funkcji i odwzorowań, całkowalność funkcji, dostosowując do sytuacji poznane kryteria i metody (K_U07, K_U08, K_U10, K_U11, K_U12) (kody odnoszą się do efektów dla studiów 1 stopnia na kierunku matematyka); U2: wyznacza kresy zbiorów, granice ciągów i funkcji, sumy szeregów, pochodne funkcji i odwzorowań, całki nieoznaczone i oznaczone oraz rozwiązania podstawowych równań różniczkowych zwyczajnych (K_U06, K_U07, K_U08, K_U10, K_U11, K_U12, K_U19); U3: wyznacza ekstrema i ekstrema związane funkcji, asymptoty funkcji, styczne do wykresów funkcji różniczkowalnych, rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy lub trygonometryczny, przeprowadza analizę przebiegu zmienności funkcji elementarnych i rysuje ich wykresy (K_U10); U4: stosuje przedstawione pojęcia i twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego do znajdowania najmniejszych i największych wartości funkcji, pól figur i objętości brył, długości krzywych oraz przybliżonych wartości pierwiastków równań (K_U10, K_U11, K_U12); U5: stosuje podstawowe pojęcia topologii metrycznej przestrzeni euklidesowych do opisu własności odwzorowań podzbiorów tych przestrzeni (K_U08); U6: potrafi w sposób zrozumiały, w mowie i na piśmie, przedstawiać poprawne rozumowania matematyczne, formułować twierdzenia i definicje z obszaru analizy matematycznej (K_U01, K_U02); U7: poprawnie stosuje rachunek zdań i kwantyfikatorów oraz elementy teorii mnogości do wyrażenia pojęć i faktów analizy matematycznej (K_U01, K_U02, K_U04).

Efekty uczenia się - kompetencje społeczne

Koordynatorzy przedmiotu

W cyklu 2024/25L:

Dorota Gabor
Grzegorz Gabor

W cyklu 2025/26L:

Grzegorz Gabor

Metody dydaktyczne

Wykład prowadzony metodą tradycyjną. Wprowadzane pojęcia i fakty ilustrowane przykładami. Ćwiczenia z bezpośrednim udziałem nauczyciela akademickiego wzbogacone o zestawy zadań do indywidualnego rozwiązania.

Metody dydaktyczne eksponujące

- pokaz

Metody dydaktyczne podające

- wykład problemowy
- wykład informacyjny (konwencjonalny)

Metody dydaktyczne poszukujące

- klasyczna metoda problemowa
- ćwiczeniowa

Rodzaj przedmiotu

przedmiot obligatoryjny

Wymagania wstępne

Student powinien wcześniej uczestniczyć w przedmiocie 1000-M1AM1nz. Zaliczenie tego przedmiotu do czasu rozpoczęcia zajęć nie jest wymagane.

Kryteria oceniania

Egzamin pisemny i ustny.

Egzamin weryfikuje osiągnięcie następujących efektów uczenia się:

W1, W3, U1 -U4, U6, U7, (w zakresie materiału semestru II), K1, K2

Kryteria oceny:

- bardzo dobra – student bardzo dobrze przedstawia i omawia pojęcia z danego zakresu, ilustruje je przykładami lub kontrprzykładami i przeprowadza złożone rozumowania matematyczne

- dobra – student prawidłowo przestawia i omawia pojęcia z danego zakresu, przy ewentualnych wskazówkach egzaminatora, prawidłowo poprawia ewentualne błędy w swojej wypowiedzi, pojęcia i twierdzenia ilustruje przykładami lub kontrprzykładami, przeprowadza mało złożone rozumowania matematyczne

- dostateczna – student prawidłowo przedstawia pojęcia z danego zakresu, przy ewentualnych wskazówkach egzaminatora, i ilustruje je poznanymi przykładami lub kontrprzykładami, umie przeprowadzić elementarne, nie złożone rozumowania matematyczne przedstawione na wykładzie

- niedostateczna – student nie potrafi w dostatecznym stopniu przedstawić pojęć z danego zakresu, nie potrafi poprawić błędów w swojej wypowiedzi pomimo wskazania ich przez egzaminatora, nie potrafi w dostateczny sposób zilustrować pojęć i twierdzeń przykładami lub kontrprzykładami lub nie potrafi przeprowadzić elementarnych rozumowań matematycznych;

Ćwiczenia kończą się zaliczeniem na ocenę. Ocenę wystawia się na postawie śródsemestralnych kolokwiów oraz indywidualnych prac domowych.

Kolokwia i sprawdziany weryfikują osiągnięcie następujących efektów uczenia się:

U1 - U4, U6, U7, K1, K2 (w zakresie materiału semestru II).

Literatura

Literatura podstawowa

1. W. Kryszewski, Wykłady z analizy matematycznej; funkcje jednej zmiennej. Wydawnictwo UMK, Toruń 2009

2. W. Kryszewski, Wykłady z analizy matematycznej; funkcje wielu zmiennych (skrypt dostępny przez internet)

3. K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa (wiele wydań).

4. F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa (wiele wydań).

5. L. Górniewicz, R. S. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków, tom I, II, Wydawnictwo UMK, Toruń 1995.

6. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I–III, PWN, Warszawa (wiele wydań).

7. W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 1979.

8. J. Steward, CALCULUS. Rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej zmiennej, PWN, Warszawa 2020.

Literatura uzupełniająca (zbiory zadań)

1. W. Krysicki i L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t. I i II, PWN,
Warszawa (wiele wydań).
2. J. Banaś i S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa (wiele wydań).
3. W. Kaczor, Zadania z analizy matematycznej, cz. 1 i 2, PWN, Warszawa 2005.
4. M. Gewert i Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1 oraz Analiza matematyczna 2, Deﬁnicje, twierdzenia, wzory oraz Przykłady i zadania, Matematyka dla Studentów Politechnik, Oﬁcyna Wydawnicza GiS, wydania z ostatnich lat.
5. G. N. Berman, Zbiór zadań z analizy matematycznej,Wyd. Pracowni Komp. Jacka Skalmierskiego, Gliwice 1999.
6. K. Niedziałomski, R. Kowalczyk, C. Obczyński, Granice i pochodne. Metody rozwiązywania zadań, PWN, Warszawa 2013.
7. T. Radożycki, Rozwiązujemy zadania z analizy matematycznej, cz. I, Wydawnictwo Oświatowe FOSZE, Rzeszów 2010.
8. T. Radożycki, Rozwiązujemy zadania z analizy matematycznej, cz. I, Wydawnictwo Oświatowe FOSZE, Rzeszów 2013.

W cyklu 2024/25L:

Jak w ogólnych informacjach o przedmiocie.

W cyklu 2025/26L:

Jak w ogólnych informacjach o przedmiocie.

W cyklu 2026/27L:

Jak w ogólnych informacjach o przedmiocie.

Uwagi

W cyklu 2024/25L:

Przedmiot wspomagany kursem na platformie Moodle "Analiza matematyczna I dla mat i mef".

Forma zajęć będzie zależna od aktualnych zarządzeń władz Uniwersytetu:
- Wykład stacjonarny lub zdalny (asynchroniczny -notatki oraz filmy z komentarzem do notatek dostępne będą na stronie przdmiotu na platformie moodle)
- Ćwiczenia prowadzone będą stacjonarnie lub zdalnie synchronicznie. Podstawa zaliczenia ćwiczeń bez zmian.

Egzamin w formie zależnej od aktualnych zaleceń sanitarnych: stacjonarny pisemny i ustny, tak jak w poprzednich latach, stacjonarny tylko pisemny rozszerzony o część odpowiadającą egzaminowi ustnemu lub ustny prowadzony on-line.

W cyklu 2025/26L:

Przedmiot wspomagany kursem na platformie Moodle "Analiza matematyczna I dla mat i mef".

W cyklu 2026/27L:

Przedmiot wspomagany kursem na platformie Moodle "Analiza matematyczna I dla mat i mef".

Więcej informacji

Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb:

Strona przedmiotu 1000-M1AM1nl w USOSweb