Prowadzony w
cyklach:
2021/22Z, 2022/23Z, 2023/24Z, 2024/25Z
Kod ISCED: 0541
Punkty ECTS:
4
Język:
polski
Organizowany przez:
Wydział Matematyki i Informatyki
Algebra liniowa z geometrią 1000-M1ALGz
- Wektory w R^n, kombinacje liniowe, liniowa niezależność.,
- Układy równań liniowych, część I. Przegląd znanych metod rozwiązywania układów równań liniowych. Operacje elementarne na równaniach układu równań liniowych. Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Gaussa eliminacji niewiadomych. Układy nieosobliwe (oznaczone) i osobliwe (nieoznaczone i sprzeczne).
- Macierze. Macierze prostokątne, działania na macierzach, dodawanie macierzy, mnożenie macierzy, mnożenie macierzy przez skalar. Własności działań na macierzach. Macierz transponowana, własności operacji transpozycji. Transformacje (operacje) elementarne na wierszach i kolumnach macierzy. Macierze elementarne. Zapis macierzowy układu równań liniowych.
- Wyznaczniki. Permutacje, rozkład permutacji na transpozycje, parzystość. Kombinatoryczna definicja wyznacznika, podstawowe własności. Twierdzenie Cauchy’ego. Dopełnienia algebraiczne i twierdzenie Laplace’a. Metody obliczania wyznaczników. Wyznacznik Vandermonde’a. Macierz odwrotna, odwracanie macierzy metodą transformacji elementarnych. Twierdzenie Cramera.
- Ciała. Grupy, pierścienie, ciała. Przykłady. Ciało liczb zespolonych, płaszczyzna Gaussa. Geometryczna interpretacja działań na liczbach zespolonych. Pierwiastkowanie liczb zespolonych, pierwiastki z 1, rozwiązywanie równań kwadratowych o współczynnikach zespolonych, informacja o zasadniczym twierdzeniu algebry.
- Przestrzenie liniowe (wektorowe). Przestrzeń liniowa nad ciałem K , przykłady. Kombinacje liniowe wektorów, liniowa niezależność wektorów raz jeszcze, podprzestrzenie liniowe, zbiory generatorów. Suma prosta przestrzeni liniowych. Baza i wymiar przestrzeni liniowej, twierdzenie Steinitza o wymianie, niezależność liczby wektorów bazowych od wyboru bazy. Wybieranie bazy ze zbioru generatorów, uzupełnianie zbioru liniowo niezależnego do bazy. Twierdzenie o istnieniu bazy. Współrzędne wektora względem bazy, macierz przejścia od jednej bazy do innej.
- Przekształcenia liniowe. Definicja i przykłady. Obraz i jądro przekształcenia liniowego, monomorfizm, epimorfizm, izomorfizm, automorfizm. Związek wymiaru obrazu przekształcenia liniowego f : V → W , z wymiarem przestrzeni V i jądra f . Macierz przekształcenia linowego względem danych baz. Zależność od wyboru baz, zastosowanie macierzy przejścia. Macierze sprzężone.
- Układy równań liniowych, cz. 2. Rząd wierszowy i kolumnowy macierzy, metody obliczania rzędu. Minory i ich związek z rzędem macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. Opis zbioru rozwiązań układu równań liniowych (jednorodnego i niejednorodnego).
- Wektory własne i wartości własne macierzy i endomorfizmów przestrzeni liniowych. Wielomian charakterystyczny macierzy kwadratowej i endomorfizmu liniowego. Wektory własne i wartości własne - definicje. Metody poszukiwania wartości własnych i wektorów własnych. Macierze diagonalizowalne. Informacja o twierdzeniu Jordana o postaci kanonicznej endomorfizmu liniowego. Informacja o twierdzeniu Cayleya - Hamiltona.
- Funkcjonały dwuliniowe. Funkcjonały K -dwuliniowe oraz funkcjonały K -dwuliniowe symetryczne na przestrzeni linowej nad ciałem K , przykłady. Macierz Gramma funkcjonału dwuliniowego względem danej bazy przestrzeni liniowej. Zależność od wyboru bazy. Ortogonalność względem danego funkcjonału dwuliniowego symetrycznego. Uzupełnienie ortogonalne podprzestrzeni, twierdzenie o istnieniu bazy ortogonalnej. Rzeczywiste funkcjonały dwuliniowe symetryczne. Twierdzenie o bezwładności. Kryterium Sylvestera. Rzeczywiste funkcjonały dwuliniowe symetryczne dodatnio określone. Algorytm ortogonalizacji Schmidta. Macierze ortogonalne i ich własności, kryterium ortogonalności macierzy.
- Elementy geometrii analitycznej Rn. Równania prostych na płaszczyźnie R2: ogólne, kierunkowe, wyznacznikowe, parametryczne. Równania prostych i płaszczyzn w przestrzeni R3. Proste, płaszczyzny i hiperpłaszczyzny w Rn, ich różne opisy. Punkty przecięcia, równoległość prostych i płaszczyzn. Standardowy iloczyn skalarny i norma w R2 i R3. Zastosowania: prostopadłość, odległość punktu od prostej (od płaszczyzny, odległość dwóch prostych w przestrzeni itp.) kąt między prostymi, kąt między płaszczyznami. Izometrie przestrzeni euklidesowych i ich związek z macierzami ortogonalnymi. Izometrie płaszczyzny R2. (h) Iloczyn wektorowy w R3.
- Przestrzeń ilorazowa V /U , definiowanie odwzorowań na przestrzeni ilorazowej.
- Przestrzeń sprzężona (dualna) V ∗ do danej przestrzeni liniowej V , baza dualna, przekształcenie sprzężone i jego macierz. Kanoniczne odwzorowanie ω : V → V ∗∗.
(Opis wspólny dla kursów 1000-M1ALGz i 1000-M1ALGl.)
Całkowity nakład pracy studenta
30 godz. - wykład
30 godz. - ćwiczenia:
30 godz. - praca własna - bieżące przygotowanie do zajęć, studiowanie literatury,
20 godz. praca własna - przygotowanie do zaliczenia.
RAZEM: 110 godz.
4 pkt. ECTS
Efekty uczenia się - wiedza
Po ukończeniu łącznie kursów 1000-M1ALGz i 1000-M1ALGl student
osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów 1 stopnia na kierunku matematyka):
1. dobrze rozumie rolę i znaczenie dowodu w matematyce, a także pojęcie istotności założeń (K_W03).
2. Zna podstawowe pojęcia algebry liniowej, takie jak: wyznacznik macierzy, przestrzeń liniowa nad ciałem, baza przestrzeni liniowej, przekształcenie liniowe, wartości i wektory własne macierzy i endomorfizmów, uogólniony iloczyn skalarny, przestrzeń euklidesowa,
(K_W05)
3. Zna najważniejsze twierdzenia algebry liniowej: tw. Laplace'a i Cauchy'ego o wyznacznikach, Twierdzenia Cramera i Kroneckera-Capellego o układach równań liniowych, twierdzenie Steinitza o wymianie i wnioski z niego, charakteryzację wartości własnych w terminach wielomianu charakterystycznego, twierdzenie o ortogonalizacji Schmidta i kryterium Sylvestera (K_W05).
Efekty uczenia się - umiejętności
Po ukończeniu łącznie kursów 1000-M1ALGz i 1000-M1ALGl student:
osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów 1 stopnia na kierunku matematyka):
1. rozwiązuje układy równań liniowych, potrafi podać geometryczną interpretację zbioru rozwiązań (K_U16),
2. wykonuje działania na macierzach, znajduje macierze odwrotne i oblicza wyznaczniki i rząd macierzy (różnymi metodami) (zob. K_U15),
3. posługuje się pojęciem przestrzeni liniowej, bazy i wymiaru przestrzeni liniowej, przekształcenia liniowego i jego macierzy oraz iloczynu skalarnego (zob. K_U14),
4. znajduje macierze przekształceń liniowych w różnych bazach, oblicza wartości i wektory własne macierzy i endomorfizmów (K_U17),
5. wykonuje działania w ciele liczb zespolonych, znajduje moduł i argument liczby zespolonej, rozwiązuje równania kwadratowe o współczynnikach zespolonych (K_U06),
6. stosuje algorytm ortogonalizacji Schmidta (K_U14).
Efekty uczenia się - kompetencje społeczne
Po ukończeniu łącznie kursów 1000-M1ALGz i 1000-M1ALGl student:
osiąga następujące efekty:
przekazuje innym swoją wiedzę i przemyślenia w zrozumiały sposób; właściwie rozumie sformułowania pytań i problemów, poprawnie posługuje się terminologią fachową
Metody dydaktyczne podające
- wykład informacyjny (konwencjonalny)
Metody dydaktyczne poszukujące
- ćwiczeniowa
- klasyczna metoda problemowa
- klasyczna metoda problemowa
Rodzaj przedmiotu
przedmiot obligatoryjny
Koordynatorzy przedmiotu
Kryteria oceniania
Zaliczenie ćwiczeń odbywa się na podstawie pisemnych sprawdzianów przeprowadzanych w ciągu całego roku.
Egzamin odbywa się po semestrze letnim.
Egzamin składa się z części pisemnej i ustnej. Część pisemna zawiera pytania teoretyczne i zadania. Część ustna polega na odpowiedzi na pytania dotyczące treści wykładu (również dowodów twierdzeń).
Ostateczna ocena z egzaminu ustalana jest przez egzaminatora na podstawie wyników części pisemnej i ustnej.
Literatura
Literatura podstawowa:
- G. Banaszak i W. Gajda, Elementy algebry liniowej, Część I i II, WNT, Warszawa, 2002.
- A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa, 1976.
Literatura uzupełniajaca:
- B. Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2002.
- A. Mostowski i M. Stark, Elementy algebry wyższej, PWN, Warszawa 1968.
- M. Stark, Geometria analityczna, PWN, Warszawa, 1970.
- A. Białynicki-Birula, Zarys algebry, PWN, Warszawa 1987.
- I. M. Gelfand, Wykłady z algebry liniowej, PWN, Warszawa, 1971.
- N.W. Jefimow i E.R. Rozendorn, Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową, PWN, Warszawa, 1974.
- A.I. Kostrykin, Wstęp do algebry, Cz. 3, PWN, Warszawa 2005.
- A.I. Kostrykin i J. I. Manin, Algebra liniowa i geometria, PWN, Warszawa 1993.
- B. Kowalczyk, Macierze i ich zastosowania, WNT, Warszawa, 1976.
- S. Lang, Algebra, PWN, Warszawa 1983.
- A. Mostowski i M. Stark, Algebra liniowa, PWN, Warszawa, 1966.
- A. Mostowski i M. Stark, Algebra wyższa, Tomy I, II i III, PWN, Warszawa 1954.
- Z. Opial, Algebra wyższa, PWN, Warszawa, 1969.
- K. Szymiczek, Wykłady z algebry dwuliniowej, Uniwersytet Śląski, Katowice, 1991.
Zbiory zadań:
- L. Jeśmanowicz i J. Łoś, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa, 1976
- D. K. Faddiejev i I. S. Sominskij, Sbornik zadacz po vyzszej algebrje, Moskwa, 1949
- H. D. Ikramov, Zadacznik po liniejnoj algebrje, Moskwa, 1975.
- I. V. Proskurijakov, Sbornik zadacz po liniejnoj algebrje, Moskwa, 1986.
- S. Przybyło i A. Szlachtowski, Algebra i wielowymiarowa geometria analityczna w zadaniach, WNT, Warszawa, 1998.
- J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, PWN, Warszawa, 2000.
- K. Szymiczek, Zbiór zadań z teorii grup, PWN, Warszawa, 1989.
- Zbiór zadań z algebry, pod red. A.I. Kostrykina, PWN, Warszawa, 2005.
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: