Prowadzony w
cyklach:
2021/22L, 2022/23L, 2023/24L
Kod ISCED: 0541
Punkty ECTS:
8
Język:
polski
Organizowany przez:
Wydział Matematyki i Informatyki
Algebra liniowa z geometrią 1000-M1ALGnl
- Wektory w R^n, działania na wektorach, kombinacje liniowe, liniowa niezależność.,
- Układy równań liniowych, część I. Przegląd znanych metod rozwiązywania układów równań liniowych. Operacje elementarne na równaniach układu równań liniowych. Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Gaussa eliminacji niewiadomych. Układy oznaczone, nieoznaczone i sprzeczne.
- Macierze. Macierze prostokątne, działania na macierzach, dodawanie macierzy, mnożenie macierzy, mnożenie macierzy przez skalar. Własności działań na macierzach. Macierz transponowana, własności operacji transpozycji. Operacje elementarne na wierszach i kolumnach macierzy. Macierze elementarne. Zapis macierzowy układu równań liniowych.
- Wyznaczniki. Permutacje, rozkład permutacji na transpozycje, parzystość. Kombinatoryczna definicja wyznacznika, podstawowe własności. Twierdzenie Cauchy’ego. Dopełnienia algebraiczne i twierdzenie Laplace’a. Metody obliczania wyznaczników. Wyznacznik Vandermonde’a. Macierz odwrotna, odwracanie macierzy metodą transformacji elementarnych.
- Rząd wierszowy i kolumnowy macierzy, metody obliczania rzędu. Minory i ich związek z rzędem macierzy.
- Układy równań liniowych, cz. II. Twierdzenie Cramera. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. Opis zbioru rozwiązań układu równań liniowych (jednorodnego i niejednorodnego).
- Ciała. Grupy, pierścienie, ciała. Przykłady. Ciało liczb zespolonych, płaszczyzna Gaussa. Geometryczna interpretacja działań na liczbach zespolonych. Pierwiastkowanie liczb zespolonych, pierwiastki z 1, rozwiązywanie równań kwadratowych o współczynnikach zespolonych, informacja o zasadniczym twierdzeniu algebry.
- Przestrzenie liniowe. Przestrzeń liniowa nad ciałem, przykłady. Kombinacje liniowe wektorów, liniowa niezależność wektorów raz jeszcze, podprzestrzenie liniowe, zbiory generatorów. Suma prosta przestrzeni liniowych. Baza i wymiar przestrzeni liniowej, twierdzenie Steinitza o wymianie, niezależność liczby wektorów bazowych od wyboru bazy. Wybieranie bazy ze zbioru generatorów, uzupełnianie zbioru liniowo niezależnego do bazy. Twierdzenie o istnieniu bazy. Współrzędne wektora względem bazy, macierz przejścia od jednej bazy do innej.
- Przekształcenia liniowe. Definicja i przykłady. Obraz i jądro przekształcenia liniowego, monomorfizm, epimorfizm, izomorfizm, automorfizm. Związek wymiaru obrazu przekształcenia liniowego f : V → W , z wymiarem przestrzeni V i jądra f . Macierz przekształcenia linowego względem danych baz. Zależność od wyboru baz, zastosowanie macierzy przejścia. Macierze sprzężone.
- Wektory własne i wartości własne macierzy i endomorfizmów przestrzeni liniowych. Wielomian charakterystyczny macierzy kwadratowej i endomorfizmu liniowego. Wektory własne i wartości własne - definicje. Metody poszukiwania wartości własnych i wektorów własnych. Macierze diagonalizowalne. Informacja o twierdzeniu Jordana o postaci kanonicznej endomorfizmu liniowego. Informacja o twierdzeniu Cayleya - Hamiltona.
- Funkcjonały dwuliniowe, uogólnione iloczyny skalarne. Ortogonalność względem danego funkcjonału dwuliniowego symetrycznego. Rzeczywiste funkcjonały dwuliniowe symetryczne. Kryterium Sylvestera. Rzeczywiste funkcjonały dwuliniowe symetryczne dodatnio określone. Macierze ortogonalne i ich własności.
(Opis wspólny dla kursów 1000-M1ALGnz i 1000-M1ALGnl.)
Całkowity nakład pracy studenta
45 godz. - wykład
45 godz. - ćwiczenia:
50 godz. - praca własna - bieżące przygotowanie do zajęć,
30 godz. - praca własna - studiowanie literatury,
30 godz. praca własna - przygotowanie do zaliczenia i egzaminu.
RAZEM: 200 godz.
8 pkt. ECTS
Efekty uczenia się - wiedza
Po ukończeniu łącznie kursów 1000-M1ALGnz i 1000-M1ALGnl student
osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów 1 stopnia na kierunku matematyka):
1. Rozumie budowę teorii matematycznych (K_W02 ).
2. Zna podstawowe pojęcia algebry liniowej, takie jak: wyznacznik macierzy, przestrzeń liniowa nad ciałem, baza przestrzeni liniowej, przekształcenie liniowe, wartości i wektory własne macierzy i endomorfizmów, uogólniony iloczyn skalarny, przestrzeń euklidesowa,
(zob. K_W05)
Efekty uczenia się - umiejętności
Po ukończeniu łącznie kursów 1000-M1ALGnz i 1000-M1ALGnl student:
osiąga następujące efekty (kody odnoszą się do efektów dla studiów 1 stopnia na kierunku matematyka):
1. rozwiązuje układy równań liniowych, potrafi podać geometryczną interpretację zbioru rozwiązań (K_U16),
2. wykonuje działania na macierzach, znajduje macierze odwrotne i oblicza wyznaczniki i rząd macierzy (różnymi metodami) (zob. K_U15),
3. posługuje się pojęciem przestrzeni liniowej, bazy i wymiaru przestrzeni liniowej, przekształcenia liniowego i jego macierzy oraz iloczynu skalarnego (zob. K_U14),
4. znajduje macierze przekształceń liniowych w różnych bazach, oblicza wartości i wektory własne macierzy i endomorfizmów (K_U17),
5. wykonuje działania w ciele liczb zespolonych, znajduje moduł i argument liczby zespolonej, rozwiązuje równania kwadratowe o współczynnikach zespolonych (zob. K_U06),
Efekty uczenia się - kompetencje społeczne
Po ukończeniu łącznie kursów 1000-M1ALGnz i 1000-M1ALGnl student
jest zdolny do krytycznej oceny swojej wiedzy i dalszego jej doskonalenia z wykorzystaniem różnych źródeł informacji (K_K03)
Metody dydaktyczne podające
- wykład informacyjny (konwencjonalny)
Metody dydaktyczne poszukujące
- ćwiczeniowa
Wymagania wstępne
Znajomość materiału kursu 1000-M1ALGnz (semestr zimowy)
Koordynatorzy przedmiotu
Kryteria oceniania
Zaliczenie ćwiczeń odbywa się po semestrze zimowym i po semestrze letnim na podstawie pisemnych sprawdzianów przeprowadzanych w ciągu całego roku.
Egzamin odbywa się po semestrze letnim.
Egzamin składa się z części pisemnej i ustnej. Część pisemna zawiera pytania teoretyczne i zadania. Część ustna polega na odpowiedzi na pytania dotyczące treści wykładu (również dowodów twierdzeń). Przystąpienie do części ustnej jest dobrowolne.
Ostateczna ocena z egzaminu ustalana jest przez egzaminatora na podstawie wyników części pisemnej i ustnej, jeśli była przeprowadzona.
Literatura
Literatura podstawowa:
- G. Banaszak i W. Gajda, Elementy algebry liniowej, Część I i II, WNT, Warszawa, 2002.
- A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa, 1976.
- B. Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2002.
Literatura uzupełniająca:
- M. Stark, Geometria analityczna, PWN, Warszawa, 1970.
- A. Białynicki-Birula, Zarys algebry, PWN, Warszawa 1987.
- I. M. Gelfand, Wykłady z algebry liniowej, PWN, Warszawa, 1971.
- N.W. Jefimow i E.R. Rozendorn, Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową, PWN, Warszawa, 1974.
- A.I. Kostrykin i J. I. Manin, Algebra liniowa i geometria, PWN, Warszawa 1993.
Zbiory zadań:
- L. Jeśmanowicz i J. Łoś, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa, 1976
- T. Jurlewicz i Z. Skoczylas , Algebra liniowa : przykłady i zadania , Wrocław 2005
- J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, PWN, Warszawa, 2000.
- Zbiór zadań z algebry, pod red. A.I. Kostrykina, PWN, Warszawa, 2005.
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: