Podstawy algebry, wybrane zagadnienia algorytmiczne 1000-I1PAL

1. Grupy - podstawowe definicje:
grupa, grupa abelowa, rząd grupy, podgrupa, operacje na podgrupach, grupa generowana przez zbiór, grupy cykliczne, warstwy względem podgrupy, indeks podgrupy, twierdzenie Lagrange’a, homomorfizmy grup, obraz i jądro.

2. Grupy ilorazowe:
podgrupa normalna, domknięcie normalne, normalizator, warstwy względem podgrupy normalnej, grupa ilorazowa, podgrupy grupy ilorazowej, zadawanie homomorfizmów z grupy ilorazowej, twierdzenia o izomorfizmie, opis grup cyklicznych.

3. Działanie grup na zbiorach i zastosowania:
grupy przekształceń, grupy permutacji, twierdzenie Cayley’a - realizacja grupy abstrakcyjnej, ”komputeryzowalność” teorii grup skończonych, działanie grupy na zbiorze, orbita i stabilizator, przykłady, algorytmy dla grup permutacji, zastosowania techniki działań do opisu własności centrum grupy, w szczególności dla p-grupy.

4. Rozkład skończenie generowanej grupy abelowej:
produkt grup, produkt a suma prosta podgrup grupy abelowej, rozkład skończonej grupy cyklicznej na sumę prosta podgrup typu Z_{p^n}, grupy Z^n i homomorfizmy pomiędzy nimi, prezentacja skończenie generowanej grupy abelowej poprzez macierz, algorytm diagonalizacji macierzy całkowitoliczbowej, twierdzenie strukturalne o rozkładzie skończenie generowanej grupy abelowej na sumę prostą podgrup nierozkładalnych typu Z i Z_{p^n} wraz z algorytmem rozkładu, przypadek grup skończonych, przykłady i zastosowania.

5. Elementy algebry liniowej nad Z:
rozwiązywania układów równań liniowych nad Z przy pomocy algorytmu diagonalizacji macierzy całkowitoliczbowej, znajdowanie jądra i obrazu homomorfizmów pomiędzy grupami Z^n, wyznaczanie klas abstrakcji relacji równoważności dla całkowitoliczbowych macierzy - postać Smitha i niezmienniki elementarne stowarzyszone z macierzą.

6. Postać normalna macierzy kwadratowych nad ciałem, podobieństwo macierzy:
wartości i wektory własne endomorfizmu liniowego, macierz charakterystyczna i wielomian charakterystyczny macierzy kwadratowej, nilpotentne i odwracalne klatki Jordana, postać normalna endomorfizmu przestrzeni linowej - twierdzenie Jordana, relacja podobieństwa macierzy kwadratowych i jej rozstrzyganie - kwestia algorytmiczności znajdowanie postaci normalnej.

7. Macierze nad pierścieniem wielomianów jednej zmiennej nad ciałem:
podstawowe informacje o pierścieniu wielomianów jednej zmiennej nad ciałem, znaczenie algorytmu Euklidesa, macierze wielomianowe i relacja równoważności pomiędzy nimi, rozstrzyganie równoważność macierzy przy pomocy algorytmu wyznaczania ich postaci Smitha oraz poprzez niezmienniki elementarne, podobieństwo macierzy kwadratowych nad ciałem a równoważność ich macierzy charakterystycznych.

8. Informacja o modułach Kroneckera.