Algebra liniowa z geometrią analityczną 1000-I1ALAl
(Opis łączny dla I1ALAz i I1ALAl)
1. Układy równań liniowych w "niskich wymiarach" nad R:
geometryczna interpretacja (wierszowa i kolumnowa) równań liniowych, postać wektorowa układu równań liniowych, metody rozwiązywania układów równań - przypomnienie, idea metody eliminacji Gaussa.
2. Macierze nad R:
układ równań liniowych - postać ogólna, macierz układu, definicja macierzy, macierze górnoschodkowe i trójkątne, operacje macierzowe, algorytm sprowadzania macierzy do postaci górnoschodkowej (odp. całkowicie zredukowanej) i jego zastosowanie do rozwiązywania układów równań (metodą eliminacji Gaussa), rząd macierzy, działania na macierzach, zapis macierzowy układu równań, macierze elementarne i interpretacja macierzowa algorytmu, macierz odwrotna i metoda Gaussa-Jordana jej obliczania (algorytm), macierze permutacji i algorytm sprowadzania macierzy do postaci A=LPU, przypadek macierzy symetrycznych.
3. Wyznaczniki:
definicja i podstawowe własności, przykłady obliczania wyznaczników, wyznacznik Vandermonde'a, twierdzenie Cauchy'ego o wyznaczniku iloczynu macierzy, wzory Cramera, rząd jako stopień maksymalnego niezerowego minora, rozwiązywanie układów równań liniowych przy pomocy wyznaczników.
4. Ciała - definicje i podstawowe przykłady, macierze nad ciałem:
grupy macierzowe (macierze: permutacji, odwracalne, odwracalne trójkątne, odwracalne diagonalne), grupy abstrakcyjne, pierścienie i ciała - definicje i przykłady, konstrukcja liczb zespolonych przy pomocy macierzy rzeczywistych, zasadnicze twierdzenie algebry, znajdowanie pierwiastków równań wielomianowych, interpretacja geometryczna i postać trygonometryczna, arytmetyka modulo n i ciała skończone Z_p (w szczególności algorytm obliczania elementu odwrotnego), zastosowania, rachunek macierzowy, obliczanie wyznaczników i rozwiązywanie układów równań liniowych dowolnymi ciałami, w szczególności nad Z_p i nad ciałem liczb zespolonych C.
5. Przestrzenie liniowe:
definicja przestrzeni liniowej nad ciałem, przykłady, podprzestrzenie liniowe, operacje na podprzestrzeniach, kombinacja liniowa wektorów, podprzestrzeń liniowa rozpięta przez zbiór wektorów, liniowa niezależność, baza i wymiar przestrzeni liniowej (lemat Steinitza), rząd macierzy jako wymiar, algorytmy znajdowania baz wybranych podprzestrzeni.
6. Wybrane zagadnienia z geometrii afinicznej:
przestrzeń afiniczna nad przestrzenią liniową, przestrzenie En, hiperpłaszczyzny w En i różne sposoby ich zadawania za pomocą równań dla n=2,3, interpretacja zbioru rozwiązań układu równań liniowych, zbiory wypukłe.
7. Przekształcenia liniowe:
definicja i przykłady, jądro, obraz i rząd przekształcenia liniowego, macierz przekształcenia liniowego względem ustalonych baz i jej zachowanie przy zmianie baz, przestrzenie homomorfizmów, algorytmy obliczania rzędu oraz znajdowania baz jądra i obrazu danego przekształcenia liniowego, związek pomiędzy rzędem, wymiarami jądra i obrazu przekształcenia liniowego, zastosowania rzędu do analizy układów równań liniowych, twierdzenie Kroneckera-Capellego.
8. Wektory i własności własne endomorfizmu przestrzeni liniowej:
definicje i przykłady, podprzestrzenie niezmiennicze, wielomian charakterystyczny, konsekwencje zasadniczego twierdzenia algebry, macierze i odwzorowania diagonalizowalne oraz ich zastosowania (rekursja liniowa i potęgowanie macierzy), twierdzenie Cayleya-Hamiltona i jego zastosowania, informacja o twierdzeniu Jordana.
9. Odwzorowania dwuliniowe:
funkcjonały i odwzorowania dwuliniowe, funkcjonały symetryczne, macierz formy dwuliniowej, bazy ortogonalne (ortonormalne) i ich istnienie (algorytm ich znajdowania w przypadku ogólnym nad R), twierdzenie o bezwładności, formy niezdegenerowane i dodatnio określone, iloczyny skalarne, wektory i bazy ortogonalne w przestrzeniach euklidesowych, algorytm ortogonalizacji Gramma-Schmidta, kryterium Sylvestera, twierdzenie strukturalne dla macierzy dodatnio określonych, iloczyn wektorowy i jego podstawowe własności.
10. Przykładowe zastosowanie iloczynu skalarnego i wektorowego w geometrii:
twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie o przekątnych w równoległoboku, obliczanie odległości punktu od prostej, wyznaczenie równania płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty, testy na współliniowość i współpłaszczyznowość punktów, odległość prostych w przestrzeni, pole równoległoboku i objętość równoległościanu.
Całkowity nakład pracy studenta
Efekty uczenia się - wiedza
Efekty uczenia się - umiejętności
Efekty uczenia się - kompetencje społeczne
Metody dydaktyczne podające
Metody dydaktyczne poszukujące
Rodzaj przedmiotu
Koordynatorzy przedmiotu
Kryteria oceniania
Zaliczenie ćwiczeń w obu semestrach odbywa się na podstawie pisemnych śródsemestralnych sprawdzianów i kolokwiów przeprowadzanych pod koniec semestru - weryfikacje efektów U1 - U7 oraz K1 i K2
Egzamin odbywa się po semestrze letnim i ma formę pisemną. Składa się z pytań teoretycznych i zadań praktycznych - weryfikacje efektów - W1, W2 oraz K1 i K2.
Kryteria oceny:
- bardzo dobra – student bardzo dobrze przedstawia i opisuje pojęcia, ich własności oraz fakty ich dotyczące, ilustruje je przykładami lub kontrprzykładami, przeprowadza złożone rozumowania stosujące je skutecznie w konkretnych sytuacjach praktycznych
- dobra – student prawidłowo przedstawia i opisuje pojęcia, ich własności oraz fakty ich dotyczące, ilustruje je przykładami lub kontrprzykładami, a także przeprowadza średnio złożone rozumowania stosujące je w konkretnych sytuacjach praktycznych
- dostateczna – student prawidłowo przedstawia najważniejsze podstawowe pojęcia i ilustruje je poznanymi przykładami, najważniejsze ich własności oraz fakty ich dotyczące, umie przeprowadzić elementarne rozumowania stosujące je w konkretnych sytuacjach praktycznych (w zakresie przedstawionym na wykładzie)
- niedostateczna – student nie potrafi w dostatecznym stopniu przedstawić podstawowych pojęć, nie zna ich własności i faktów ich dotyczących, nie potrafi ich zilustrować przykładami lub kontrprzykładami, nie potrafi w stopniu dostatecznym przeprowadzić nawet elementarnych rozumowań mających na celu zastosowanie ich w konkretnych sytuacjach praktycznych (nawet w zakresie przedstawionym na wykładzie) .
Literatura
Literatura podstawowa:
1. G. Banaszak, W. Gajda, Elementy algebry liniowej, cz. 1 i 2, WNT, Warszawa 2002.
2. A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1979.
3. G. Strang, Linear algebra and its applications, Academic Press, New York 1980.
Literatura uzupełniająca:
4. A. Białynicki-Birula, Zarys algebry, PWN, Warszawa 1987.
5. M. Gelfand, Wykłady z algebry liniowej, PWN, Warszawa (wiele wydań).
6. A. I. Kostrkin, Wstęp do algebry, cz. 2, Algebra liniowa, PWN Warszawa 2004.
Zbiory zadań:
1. L. Jeśmanowicz i J. Łoś, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa, 1976
2. I. V. Proskurijakov, Sbornik zadacz po liniejnoj algebrje, Moskwa, 1986.
3. S. Przybyło i A. Szlachtowski, Algebra i wielowymiarowa geometria analityczna w zadaniach, WNT, Warszawa, 1998.
4. J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, PWN, Warszawa, 2000.
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: