Analiza funkcjonalna 0800-ANAFUN

Zajęcia zaczynają się od wprowadzenia matematycznych pojęć i tła potrzebnego do wejścia w świat przestrzeni Banacha. Następnie zostaną omówione podstawowe własności przestrzeni Banacha, ze szczególnym uwzględnieniem przestrzeni Hilberta w kolejności przedstawionej poniżej.

Tematy:
1. Przestrzenie metryczne, elementy topologii metrycznej;
2. Przestrzenie unormowane, własności normy;
3. Przestrzenie Banacha, przykłady klasycznych przestrzeni ciągowych i funkcyjnych;
4. Przestrzenie Hilberta, własności iloczynu skalarnego, przykłady, podstawowe twierdzenia dotyczące geometrii przestrzeni Hilberta oraz szeregów Fouriera;
5. Operatory ograniczone i ich własności w przestrzeni Banacha, norma operatora, operatory sprzężone w przestrzeni Hilberta, przestrzenie dualne;
6. Elementy Teorii spektralnej dla operatorów ograniczonych i nieograniczonych ze szczególnym uwzględnieniem operatorów samosprzężonych i operatorów znanych z fizyki kwantowej.

Całkowity nakład pracy studenta

Godziny realizowane z udziałem nauczycieli (45 godz.) - udział w konwersatorium – 45 godz. Czas poświęcony na pracę indywidualną studenta ( 45 godz.): - przygotowanie do konwersatorium – 15 godz. - przygotowanie prac zaliczeniowych - 30 godz. Łącznie: 90 godz. (3 ECTS)

Efekty uczenia się - wiedza

Po ukończeniu kursu student: W1: zna pojęcia przestrzeni metrycznej, unormowanej, zna podstawowe własności normy, operuje podstawowymi pojęciami topologicznymi w przypadku metrycznym; W2: podaje podstawowe przestrzenie analizy funkcjonalnej: Banacha, Hilberta, zna podstawowe przykłady takich przestrzeni; W3: zna pojęcie operatora ograniczonego i jego normy; W4: rozumie i umie stosować klasyczne twierdzenia analizy funkcjonalnej: tw. o odwzorowaniu otwartym, domkniętym wykresie, o odwzorowaniu otwartym, zasadę jednostajnej ograniczoności; W5: operuje pojęciem przestrzeni sprzężonej, zna podstawowe twierdzenia o jej postaci; W6: zna podstawowe twierdzenia dotyczące przestrzeni Hilberta: tw. Pitagorasa, tw. o rzucie ortogonalnym, o rozkładzie, tw. Riesza, tw. o operatorze sprzężonym; W7: rozumie pojęcie układu ortonormalnego zupełnego w przestrzeni Hilberta i pojecie szeregu Fouriera, potrafi rozwijać w szereg Fouriera funkcje okresowe i całkowalne; W8: zna podstawowe twierdzenia spektralne dotyczące operatorów samosprzężonych (ograniczonych i nieograniczonych); W9: zna podstawowe własności spektralne operatorów pędu i położenia. Efekty przedmiotowe W1-W9 realizują efekty kierunkowe: K_W01 dla F, K_W01 dla FT.

Efekty uczenia się - umiejętności

Student: U1: rozumie podstawową strukturę przestrzeni metrycznych, unormowanych, Banacha i Hilberta, ilustruje przykładami poznane definicje; U2: stosuje klasyczne twierdzenia j i swobodnie posługuje się podstawowymi narzędziami analizy funkcjonalnej; U3: potrafi samodzielnie dowodzić prostych faktów z zakresu analizy funkcjonalnej; U4: rozumie matematyczne podstawy teorii spektralnej i jej zastosowanie w fizyce kwantowej; U5: rozumie potrzebę dalszego pogłębiania swej wiedzy matematycznej. Efekty przedmiotowe U1-U4 realizują efekty kierunkowe: K_U01 dla F, K_U01 dla FT. Efekt przedmiotowy U5 realizuje efekty kierunkowe: K_U09 dla F, K_U12 dla FT.

Efekty uczenia się - kompetencje społeczne

K1 – jest świadomy ograniczeń swej wiedzy matematycznej Efekt przedmiotowy K1 realizują efekty kierunkowe: K_K01 dla F, K_K01 dla FT.

Metody dydaktyczne

Metody dydaktyczne podające: - wykład konwersatoryjny Metody dydaktyczne poszukujące: - ćwiczeniowa

Metody dydaktyczne podające

- wykład konwersatoryjny

Metody dydaktyczne poszukujące

- ćwiczeniowa

Rodzaj przedmiotu

przedmiot fakultatywny

Wymagania wstępne

Podstawowa wiedza z analizy matematycznej oraz algebry liniowej.

Koordynatorzy przedmiotu

Łukasz Rzepnicki

Kryteria oceniania

Zaliczenie na ocenę na podstawie sześciu prac zaliczeniowych wykonywanych w domu, które dotyczą zadań pojawiających się na ćwiczeniach.

Zadania domowe weryfikują efekty W1-W9 oraz U1-U4.

Łączna suma punktów za zadania domowe daje ocenę końcową na podstawie kryteriów podanych poniżej.

50-60% - ocena: 3
60-70% - ocena: 3+
70-80% - ocena: 4
80-90% - ocena: 4+
90-100% - ocena 5

Praktyki zawodowe

nie dotyczy

Literatura

Literatura podstawowa:

1. E. Kreyszig - ,,Introductory Functional Analysis with Applications", Wiley; 1st edition (February 23, 1989);
2. V. L. Hansen - „Functional Analysis, Enterning Hilbert Space” WSP 2006;
3. Jan Rusinek – “Zadania z Analizy Funkcjonalnej z rozwiązaniami” Warszawa 2006;
4. Stanisław Prus, Adam Stachura – „Analiza funkcjonalna w zadaniach” PWN 2009.

Literatura dodatkowa:

1. Witold Kołodziej „Wybrane rozdziały analizy matematycznej” (B.M. t.36, PWN 1970)
2. Włodzimierz Mlak - „Wstęp do przestrzeni Hilberta” B.M. t.35, PWN 1970;
3. Julian Musielak - „Wstęp do analizy funkcjonalnej” PWN 1989;
4. Andrzej Aleksiewicz - „Analiza Funkcjonalna” PWN 1969;
5. Walter Rudin – „Analiza Funkcjonalna” PWN 2009;
6. Jacek Chmieliński – “Analiza funkcjonalna, notatki do wykladu” Kraków 2004;
7. J. Ron Retherford – „Hilbert Space: Compact Operators and the Trace Theorem” Cambridge 1993;

Uwagi

W cyklu 2023/24L:

Zaliczenie na podstawie czterech prac domowych.

Więcej informacji

Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb:

Strona przedmiotu 0800-ANAFUN w USOSweb