Matematyka z elementami statystyki 0600-S1-CM-MES

1. Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory; indukcja matematyczna
-liczby rzeczywiste jako punkty osi liczbowej,
-kres zbioru , informacja o teorii aksjomatycznej,
-liczby naturalne, zasada indukcji,
-nierówność Bernoulli'ego, wzór dwumienny Newtona,
-liczby całkowite, wymierne niewymierne,
-przegląd funkcji elementarnych
2. R^n jako przestrzeń liniowa. Macierze i wyznaczniki
-definicja wektora i macierzy
-działania na wektorach
-liniowa niezależność
-definicja i podstawowe własności wyznacznika
3. Układy równań liniowych
-definicja układu Cramera i tw. Cramera
-definicja i podstawowe własności rzędu macierzy
-ogólne układy równań liniowych, tw. Kroneckera-Capellego
-metoda Gaussa rozwiązywania układów równań liniowych
4. Wektory i wartości własne macierzy; iloczyn
skalarny, norma, odległość
-wartości własne macierzy
- iloczyn skalarny i wektorowy w R^3 i ich własności
-norma wektora, nierówność Schwarza
-odległość w R^n
-równanie płaszczyzny w R^3
5. Ciągi liczb rzeczywistych
-definicja podstawowe własności
-definicja granicy i jej własności
-podstawowe twierdzenia dotyczące granic ciągów
-podstawowe klasy ciągów zbieżnych
-ciągi rozbieżne do nieskończoności
-liczba e
6. Szeregi liczbowe
-definicja szeregu i jego zbieżności, szereg geometryczny
-warunek konieczny zbieżności szeregu, szereg harmoniczny
-szeregi o wyrazach dodatnich, Kryterium Porównawcze,
Kryterium d'Alamberta, Kryterium Cauchy'ego, Kryterium o
Zagęszczaniu
-szeregi o wyrazach dowolnych, zbieżność bezwzględna, Kryterium
Leibniza, Kryterium Abela, Kryterium Dirichleta
7. Granica i ciągłość funkcji
-definicja granicy funkcji i jej podstawowe własności
-granice jednostronne
-twierdzenie o trzech funkcjach
-granice niewłaściwe
-ciągłość funkcji w punkcie, w zbiorze,
-własności funkcji ciągłych
-ciągłość funkcji elementarnych
-granice w 0 funkcji (sin x)/x oraz (a^x-1)/x
8. Pochodna funkcji
-definicja i podstawowe własności
-równanie stycznej do wykresu
-pochodne niektórych funkcji elementarnych
-pochodna funkcji złożonej i odwrotnej, pochodne pierwiastków,
funkcji cyklometrycznych i logarytmicznych
-twierdzenia o wartości średniej
9. Zastosowania pochodnych
-twierdzenia o monotoniczności i ekstremach funkcji rzeczywistych
-reguły de l'Hospitala
-wklęsłość i wypukłość funkcji
-asymptoty
-pełne badanie funkcji
10. Całka nieoznaczona i metody całkowania
-definicja i podstawowe własności
-całki elementarne
-całkowanie przez części
-całkowanie przez podstawienie
-całkowanie ułamków prostych
-rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste
-całkowanie funkcji niewymiernych
-podstawienia Eulera
-całkowanie funkcji trygonometrycznych
11. Całka oznaczona i jej zastosowania
-definicja i podstawowe własności
-całkowanie przez podstawienie i przez części dla całki oznaczonej
-tw. Newtona-Leibniza
-obliczanie pól powierzchni obszarów płaskich z zastosowaniem
całki oznaczonej
12. Szeregi stowarzyszone z funkcją
-szeregi Taylora
-szeregi Fouriera
13. Funkcje wielu zmiennych, granica i ciągłość
-przykłady prostych funkcji dwu zmiennych i ich wykresy
-ciągi w R^n i ich zbieżność
-definicja granicy funkcji dwu i trzech zmiennych
-przykłady granic podwójnych, granice niewłaściwe
-ciągłość, ciągłość funkcji elementarnych
14. Pochodne funkcji wielu zmiennych
-definicje pochodnych cząstkowych pierwszego i drugiego rzędu
-równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji dwu zmiennych
-wzór Taylora z drugą pochodną dla funkcji dwu i trzech
zmiennych
-przybliżone wartości funkcji
15. Ekstrema lokalne
-definicja ekstremum lokalnego funkcji wielu zmiennych
-tw. o ekstremach lokalnych funkcji dwu i trzech zmiennych

ĆWICZENIA
1. Macierze i wyznaczniki
-działania na macierzach
-obliczanie wyznaczników
-znajdowanie macierzy odwrotnej, proste równania macierzowe
-rząd macierzy, weryfikowanie liniowej niezależności wektorów
2. Równania liniowe
-rozwiązywanie układów Cramera metodą Cramera
-rozwiązywanie ogólnych układów równań liniowych metodą
Gaussa
3. Znajdowanie wektorów i wartości własnych macierzy kwadratowych
4. Elementy geometrii analitycznej
-obliczanie iloczynu skalarnego i wektorowego, długości
wektora, odległości punktów
-zastosowanie iloczynu wektorowego do obliczania pól
i objętości
-równanie płaszczyzny, odległość punktu od płaszczyzny
-znajdowanie równań płaszczyzn spełniających zadane warunki
-prosta w przestrzeni
5. Ciągi rzeczywiste
-badanie monotoniczności i ograniczoności ciągu
-znajdowanie granic ciągów
6. Szeregi
-znajdowanie sum prostych szeregów w szczególności szeregów
geometrycznych
-badanie zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych
-badanie zbieżności szeregów o wyrazach dowolnych
-badanie zbieżności bezwzględnej i warunkowej
7. Granice funkcji, ciągłość
-znajdowanie granic zwykłych i jednostronnych funkcji
-weryfikowanie ciągłości funkcji
- znajdowanie granic funkcji w nieskończoności
8. Pochodna
-obliczanie pochodnej funkcji
-znajdowanie wartości najmniejszej i największej na przedziale
-znajdowanie przedziałów monotoniczności ekstremów funkcji
-znajdowanie granic z zastosowaniem reguł de l’Hospitala
-pełne badanie funkcji
9. Całka nieoznaczona
-całki elementarne
-całkowanie przez części
-całkowanie przez podstawienie
-całkowanie funkcji wymiernych
-całkowanie funkcji niewymiernych
-podstawienia Eulera
-uniwersalne podstawienie trygonometryczne
10. Całka oznaczona
-całkowanie przez części
-całkowanie przez podstawienie
-zastosowanie całki oznaczonej do obliczania pól obszarów
płaskich, długości krzywych, objętości
-obliczanie całek niewłaściwych
11. Rozwijanie funkcji w szeregi
-znajdowanie szeregu Taylora w zadanym punkcie
-znajdowanie szeregu Fouriera danej funkcji okresowej

12. Funkcje wielu zmiennych
-obliczanie pochodnych cząstkowych pierwszego i drugiego
rzędu
-obliczanie przybliżonej wartości funkcji przy pomocy
różniczki pierwszego rzędu
-znajdowanie ekstremów funkcji dwu i trzech zmiennych
13. Elementy statystyki
-błąd systematyczny i przypadkowy
-miary położenia i rozproszenia wyników
-błąd a niepewność
-współczynnik korelacji i determinacji
-błąd standardowy
-odchylenia standardowe dla współczynników regresji
-odchylenie standardowe wartości prognozowanej