Harmonic analysys 1000-M2-HarAnalysys
1. Podstawy przestrzeni Lebesgue’a:
Funkcja rozkładu i słabe przestrzenie L^p.
Operator maksymalny Hardy’ego–Littlewooda.
Twierdzenie o różniczkowaniu Lebesgue’a.
Sploty i ich własności.Funkcje Schwarza. Tożsamości przybliżone.
2. Podstawy transformaty Fouriera:
Transformata Fouriera w przestrzeni L^1.
odwracanie transformaty Fouriera.
Transformata Fouriera w przestrzeni L^2, twierdzenie Paleya–Wienera, zasady nieoznaczoności.
Interpolacja rzeczywista i zespolona: interpolacja Riesz–Thorina, interpolacja Steina,
Interpolacja Marcinkiewicza. Zastosowania interpolacji.
Nierówności Hausdorffa–Younga i pokrewne.
Jedynki aproksymacyjne, zbieżność w normie i prawie wszędzie.
Rozkłady temperowane. Mnożniki Fouriera w przestrzeniach L^p.
3. Całki osobliwe:
Transformata Hilberta, jądro Poissona, transformaty Riesz’a,
Całki osobliwe Calde?rona–Zygmunda.
Ograniczoność operatorów Calde?rona–Zygmunda w L^2
i dekompozycja Calde?rona–Zygmunda.
Ekstrapolacja ograniczoności w L^2.
4. Teoria Littlewooda–Paleya: Podstawy i elementarne zastosowania.
Twierdzenia o mnożnikach Hörmandera i Marcinkiewicza.
Twierdzenie Calde?rona–Zygmunda dla funkcji wektorowych.
Zastosowania nierówności wektorowych.
Total student workload
Learning outcomes - knowledge
Learning outcomes - skills
Learning outcomes - social competencies
Teaching methods
Expository teaching methods
- informative (conventional) lecture
Exploratory teaching methods
- practical
- presentation of a paper
Type of course
Prerequisites
Course coordinators
Assessment criteria
Passing the exercises is based on passing written tests.
Verification of learning outcomes: U1, U2, K1, K2, K3
Oral exam on the course content – demonstrating knowledge of the material covered.
Verification of learning outcomes: W1, W2
Practical placement
not foreseen
Bibliography
Basic literature:
L. Grafakos, Classical Fourier analysis, Third ed., Graduate Texts in Mathematics, 249, Springer, NY, 2014.
L. Grafakos, Modern Fourier analysis, Third ed., Graduate Texts in Mathematics, 250, Springer, NY, 2014.
E. Stein, G. Weiss, Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces, Princeton Mathematical Ser., No. 32. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1971.
Supplementary literature:
E. Stein and R. Shakarchi, Fourier analysis:
an Introduction, Princeton Lectures in Analysis, 1. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2003.
E. Stein and R. Shakarchi, Real analysis. Measure theory, integration, and Hilbert spaces.
Princeton Lectures in Analysis, 3. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2005.
E. Stein and R. Shakarchi, Functional analysis. Introduction to further topics in analysis, Princeton Lectures in Analysis, 4. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2011.
A. Torchinsky, Real-variable methods in harmonic analysis, Pure and Applied Math., 123. Academic Press, FL, 1986.
Additional information
Additional information (registration calendar, class conductors, localization and schedules of classes), might be available in the USOSweb system: